逻辑用语

使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做逻辑用语

命题

命题的共同特征是作出了判断。任何命题要么成立，要么不成立，这种语句叫做命题.

成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题.

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为猜想.

命题由条件和结论组成。一般形式为“若 $p$ ，则 $q$ ”，其中 $p$ 称为命题的条件， $q$ 称为命题的结论。

标准结构：若 $p$ ，则 $q$ ，记作 $p \Rightarrow q$

条件关系	逻辑表示	集合表示	定义
充分条件	$p \Rightarrow q$	$A \subseteq B$	若 $p$ 成立，则 $q$ 一定成立
充分不必要条件	$p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow̸ p$	$A ⫋ B$	$p$ 是 $q$ 的充分条件，但非必要条件
必要不充分条件	$q \Rightarrow p$ 且 $p \Rightarrow̸ q$	$B ⫋ A$	$p$ 是 $q$ 的必要条件，但非充分条件
充要条件	$p \Leftrightarrow q$	$A = B$	$p$ 成立当且仅当 $q$ 成立

对给定集合 $M$ 中的任意一个元素 $x$ ，命题 $p (x)$ 成立，记作： $\forall x \in M, p (x)$

其中“ $\forall$ ”称为全称量词，表示“任意”“所有”“每一个”等含义。

示例：对于任意实数 $x$ ，有 $x^{2} \geq 0$ 符号表示： $\forall x \in ℝ, x^{2} \geq 0$

存在集合 $M$ 中的某个元素 $x$ ，使得命题 $p (x)$ 成立，记作： $\exists x \in M, p (x)$

其中“ $\exists$ ”称为存在量词，表示“存在”“至少有一个”等含义。

示例：存在整数 $n$ ，使得 $n^{2} - 1 = 0$ 符号表示： $\exists n \in ℤ, n^{2} - 1 = 0$

原命题： $\forall x \in M, p (x)$ 否定命题： $\exists x_{0} \in M, \neg p (x_{0})$

示例：原命题：所有三角形内角和为180° 否定：存在一个三角形，其内角和不为180°

原命题： $\exists x \in M, p (x)$ 否定命题： $\forall x \in M, \neg p (x)$

示例：原命题：存在实数 $x$ ，使得 $x^{2} < 0$ 否定：对于所有实数 $x$ ，均有 $x^{2} \geq 0$