函数解析式求法

用已知的信息来求函数解析式。

简单题如：

已知 $f (x + 1) = x^{2}$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

可把 $f (x + 1) = x^{2}$ 中的 $x$ 换成 $x - 1$ ，得 $f (x) = (x - 1)^{2}$ .

原函数表达式为 $f (t) = g (x)$ ， $t$ 是关于 $x$ 的式子，求 $f (x)$ 的解析式

这时要把 $g (x)$ 通过变形、整理，使其变为只含 $t$ 与常数的式子，然后将 $t$ 换成 $x$ ，即可得到 $f (x)$ 的解析式.

把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

$f (g (x)) = φ (x)$ ，求 $f (x)$ 的表达式.

令 $t = g (x)$ ，从中解出 $x = h (t)$ ，代入右边 $φ (x)$ 整理可得 $f (t)$ 的表达式.

使用字母来表示确定的系数.

已知 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (f (x)) = 4 x - 1$ ，求 $f (x)$

设 $f (x) = k x + b$ ，那么 $f (k x + b) = k (k x + b) + b = 4 x - 1$

→ $k^{2} + k b + b = 4 x - 1$

可解得 $f (x)$ 的表达式，为 $f (x) = 2 x - \frac{1}{3}$ 或 $f (x) = - 2 x + 1$ .

又称消元法，常用于已知多个条件、多个函数值，要求出函数解析式的情况.

把题目给出的条件写成关于未知函数的方程组，通过代入、消元等方式求出函数的解析式.

已知函数 $f (x)$ 满足 ${\begin{cases} f (1) = 3 \\ f (2) = 5 \end{cases}$ 且 $f (x)$ 是一次函数，求 $f (x)$ .

设 $f (x) = k x + b$ ，代入条件得 ${\begin{cases} k + b = 3 \\ 2 k + b = 5 \end{cases}$

解得 $k = 2, b = 1$ ，所以 $f (x) = 2 x + 1$ 。

又称特殊值法，适用于函数表达式较复杂、但可以通过代入特殊值来简化计算的情况.

选择合适的 $x$ 值，使表达式大幅简化，从而求出未知量.

已知 $f (x) + f (2 - x) = x$ ，求 $f (x)$ 。

令 $x = 2$ ，得 $f (2) + f (0) = 2$ ……①

令 $x = 0$ ，得 $f (0) + f (2) = 0$ ……②

由①②联立可得 $f (2) = 1, f (0) = - 1$

再将 $x$ 代回原式整理，可求得一般形式的 $f (x)$ 。