逻辑用语：修订间差异

第1行：

使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做'''逻辑用语'''

= 命题 =

== 命题 ==

~~命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做~~'''命题'''.

命题的共同特征是作出了判断。任何命题要么成立，要么不成立，这种语句叫做'''命题'''.

成立的命题叫做'''真命题'''，不成立的命题叫做'''假命题'''.

第9行：

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为'''猜想'''.

~~命题由条件和结论组成。~~

命题由条件和结论组成。一般形式为“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”，其中 <math>p</math> 称为命题的条件，<math>q</math> 称为命题的结论。

~~命题一般都具有“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”的形式，其中 <math>p</math> 叫做命题的条件，<math>q</math> 叫做命题的结论。~~

=== 命题结构 ===

~~一般来说，命题是就是一个陈述句。~~

<big>标准结构：'''若 <math>p</math>，则 <math>q</math>'''，记作 <math>p \Rightarrow q</math></big>

~~== 命题结构 ==~~

* 命题的否定：<math>p \Rightarrow \neg q</math>

* 否命题：<math>\neg p \Rightarrow \neg q</math>

* 逆命题：<math>q \Rightarrow p</math>

* 逆否命题：<math>\neg q \Rightarrow \neg p</math>

~~<big>结构是：'''若 <math>p</math> 则 <math>q</math>'''.</big>~~

=== 充分条件和必要条件 ===

~~否定是：若~~ <math>p</math> 则 <math>\~~neg~~ q</math>.

{| class="wikitable"

|-

! 条件关系 !! 逻辑表示 !! 集合表示 !! 定义

|-

| 充分条件 || <math>p \Rightarrow q</math> || <math>A \subseteq B</math> || 若 <math>p</math> 成立，则 <math>q</math> 一定成立

|-

| 充分不必要条件 || <math>p \Rightarrow q</math> 且 <math>q \not\Rightarrow p</math> || <math>A \subsetneqq B</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的充分条件，但非必要条件

|-

| 必要不充分条件 || <math>q \Rightarrow p</math> 且 <math>p \not\Rightarrow q</math> || <math>B \subsetneqq A</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的必要条件，但非充分条件

|-

| 充要条件 || <math>p \Leftrightarrow q</math> || <math>A = B</math> || <math>p</math> 成立当且仅当 <math>q</math> 成立

|}

~~否命题：若 <math>\neg p</math> 则 <math>\neg q</math>.~~

~~逆命题：若 <math>q</math> 则 <math>p</math>.~~

=== 含有量词的命题 ===

== ~~充分条件和必要条件~~ ==

==== 全称量词命题 ====

对给定集合 <math>M</math> 中的任意一个元素 <math>x</math>，命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：

<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>

# <math>p \~~Rightarrow q~~</math>~~, 象征 <math>A \subseteq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分条件'''；~~

其中“<math>\forall</math>”称为'''全称量词'''，表示“任意”“所有”“每一个”等含义。

~~# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \not\Rightarrow p</math>, 象征 <math>A \subsetneqq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''；~~

~~# <math>q \Rightarrow p</math>， <math>p \not\Rightarrow q</math>, 象征 <math>B \subsetneqq A</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''；~~

# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \Rightarrow p</math>, 则 <math>p \Leftrightarrow q</math>, 象征 <math>A = B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''，简称'''~~充要条件~~'''；

~~== 含有量词的命题 ==~~

'''示例'''：

对于任意实数 <math>x</math>，有 <math>x^2 \geq 0</math>

符号表示：<math>\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 \geq 0</math>

~~=== 全称量词命题 ===~~

对 <math>M</math> ~~的任意一个元素~~ <math>x</math>，有 <math>p(x)</math> ~~成立：~~

==== 存在量词命题 ====

存在集合 <math>M</math> 中的某个元素 <math>x</math>，使得命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：

<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>

<math>\~~forall \; x \in M , \; p(x)~~</math>

其中“<math>\exists</math>”称为'''存在量词'''，表示“存在”“至少有一个”等含义。

~~上面这种命题叫~~'''~~全称量词命题~~'''~~. 在数学上，“任意”“每一个”等'''全称量词'''用符号~~ <math>\~~forall~~</math> ~~表示.~~

'''示例'''：

存在整数 <math>n</math>，使得 <math>n^2 - 1 = 0</math>

符号表示：<math>\exists n \in \mathbb{Z}, \; n^2 - 1 = 0</math>

~~例如：对于任意实数 <math>a , \; a^2 + 1 > 0</math>.~~

~~用符号表示是：<math>\forall \; x \in R , \; a^2 + 1 > 0</math>~~

=== 含量词命题的否定 ===

=== ~~存在量词命题~~ ===

==== 全称命题的否定 ====

原命题：<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>

否定命题：<math>\exists x_0 \in M, \; \neg p(x_0)</math>

~~对 <math>M</math> 的某个元素 <math>x</math>，使 <math>p(x)</math> 成立：~~

'''示例'''：

原命题：所有三角形内角和为180°

否定：存在一个三角形，其内角和不为180°

~~<math>\exists \; x \in M, \; p(x)</math>~~

~~上面这种命题叫'''存在量词命题'''. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等'''存在量词'''用符号~~ <math>\exists</math> ~~表示.~~

==== 存在命题的否定 ====

原命题：<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>

否定命题：<math>\forall x \in M, \; \neg p(x)</math>

~~例如：存在某个整数~~ <math>a</math>~~, 使得~~ <math>a^2 ~~- 1~~ </math> 是 <math>5</math> ~~的倍数.~~

'''示例'''：

原命题：存在实数 <math>x</math>，使得 <math>x^2 < 0</math>

否定：对于所有实数 <math>x</math>，均有 <math>x^2 \geq 0</math>

~~用符号表示是：<math>\exists \; x \in Z, \; \frac{a^2 - 1}{5} \in Z</math>~~

~~== 含量词命题的否定 ==~~

~~=== 全称量词命题 ===~~

~~原命题：<math>\forall \; x, \; p(x)</math>~~

~~否定命题：<math>\exists \; x_0, \; \neg p(x)</math>~~

~~=== 存在量词命题 ===~~

~~原命题：<math>\exists \; x, \; p(x)</math>~~

~~否定命题：<math>\forall \; x, \; \neg p(x)</math>~~

~~=== 示例 ===~~

~~原命题：<math>\exists \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 > 0</math>~~

~~否定命题：<math>\forall \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 \le 0</math>~~

[[分类:数学]]

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