逻辑用语：修订间差异

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2025年7月11日 (五) 14:01的最新版本

使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做逻辑用语

命题

命题的共同特征是作出了判断。任何命题要么成立，要么不成立，这种语句叫做命题.

成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题.

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为猜想.

命题由条件和结论组成。一般形式为“若 $p$ ，则 $q$ ”，其中 $p$ 称为命题的条件， $q$ 称为命题的结论。

命题结构

标准结构：若 $p$ ，则 $q$ ，记作 $p \Rightarrow q$

命题的否定： $p \Rightarrow \neg q$
否命题： $\neg p \Rightarrow \neg q$
逆命题： $q \Rightarrow p$
逆否命题： $\neg q \Rightarrow \neg p$

充分条件和必要条件

条件关系	逻辑表示	集合表示	定义
充分条件	$p \Rightarrow q$	$A \subseteq B$	若 $p$ 成立，则 $q$ 一定成立
充分不必要条件	$p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow̸ p$	$A ⫋ B$	$p$ 是 $q$ 的充分条件，但非必要条件
必要不充分条件	$q \Rightarrow p$ 且 $p \Rightarrow̸ q$	$B ⫋ A$	$p$ 是 $q$ 的必要条件，但非充分条件
充要条件	$p \Leftrightarrow q$	$A = B$	$p$ 成立当且仅当 $q$ 成立

含有量词的命题

全称量词命题

对给定集合 $M$ 中的任意一个元素 $x$ ，命题 $p (x)$ 成立，记作： $\forall x \in M, p (x)$

其中“ $\forall$ ”称为全称量词，表示“任意”“所有”“每一个”等含义。

示例：对于任意实数 $x$ ，有 $x^{2} \geq 0$ 符号表示： $\forall x \in ℝ, x^{2} \geq 0$

存在量词命题

存在集合 $M$ 中的某个元素 $x$ ，使得命题 $p (x)$ 成立，记作： $\exists x \in M, p (x)$

其中“ $\exists$ ”称为存在量词，表示“存在”“至少有一个”等含义。

示例：存在整数 $n$ ，使得 $n^{2} - 1 = 0$ 符号表示： $\exists n \in ℤ, n^{2} - 1 = 0$

含量词命题的否定

全称命题的否定

原命题： $\forall x \in M, p (x)$ 否定命题： $\exists x_{0} \in M, \neg p (x_{0})$

示例：原命题：所有三角形内角和为180° 否定：存在一个三角形，其内角和不为180°

存在命题的否定

原命题： $\exists x \in M, p (x)$ 否定命题： $\forall x \in M, \neg p (x)$

示例：原命题：存在实数 $x$ ，使得 $x^{2} < 0$ 否定：对于所有实数 $x$ ，均有 $x^{2} \geq 0$

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 使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做'''逻辑用语'''
-= 命题 =
+== 命题 ==
-命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做'''命题'''.
+命题的共同特征是作出了判断。任何命题要么成立，要么不成立，这种语句叫做'''命题'''.
 成立的命题叫做'''真命题'''，不成立的命题叫做'''假命题'''.
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 数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为'''猜想'''.
-命题由条件和结论组成。
+命题由条件和结论组成。一般形式为“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”，其中 <math>p</math> 称为命题的条件，<math>q</math> 称为命题的结论。
-命题一般都具有“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”的形式，其中 <math>p</math> 叫做命题的条件，<math>q</math> 叫做命题的结论。
+=== 命题结构 ===
-一般来说，命题是就是一个陈述句。
+<big>标准结构：'''若 <math>p</math>，则 <math>q</math>'''，记作 <math>p \Rightarrow q</math></big>
-== 命题结构 ==
+* 命题的否定：<math>p \Rightarrow \neg q</math>
+* 否命题：<math>\neg p \Rightarrow \neg q</math>
+* 逆命题：<math>q \Rightarrow p</math>
+* 逆否命题：<math>\neg q \Rightarrow \neg p</math>
-<big>结构是：'''若 <math>p</math> 则 <math>q</math>'''.</big>
+=== 充分条件和必要条件 ===
-否定是：若 <math>p</math> 则 <math>\neg q</math>.
+{| class="wikitable"
+|-
+! 条件关系 !! 逻辑表示 !! 集合表示 !! 定义
+|-
+| 充分条件 || <math>p \Rightarrow q</math> || <math>A \subseteq B</math> || 若 <math>p</math> 成立，则 <math>q</math> 一定成立
+|-
+| 充分不必要条件 || <math>p \Rightarrow q</math> 且 <math>q \not\Rightarrow p</math> || <math>A \subsetneqq B</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的充分条件，但非必要条件
+|-
+| 必要不充分条件 || <math>q \Rightarrow p</math> 且 <math>p \not\Rightarrow q</math> || <math>B \subsetneqq A</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的必要条件，但非充分条件
+|-
+| 充要条件 || <math>p \Leftrightarrow q</math> || <math>A = B</math> || <math>p</math> 成立当且仅当 <math>q</math> 成立
+|}
-否命题：若 <math>\neg p</math> 则 <math>\neg q</math>.
-逆命题：若 <math>q</math> 则 <math>p</math>.
+=== 含有量词的命题 ===
-== 充分条件和必要条件 ==
+==== 全称量词命题 ====
+对给定集合 <math>M</math> 中的任意一个元素 <math>x</math>，命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：
+<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>
-# <math>p \Rightarrow q</math>, 象征 <math>A \subseteq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分条件'''；
+其中“<math>\forall</math>”称为'''全称量词'''，表示“任意”“所有”“每一个”等含义。
-# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \not\Rightarrow p</math>, 象征 <math>A \subsetneqq B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''；
-# <math>q \Rightarrow p</math>， <math>p \not\Rightarrow q</math>, 象征 <math>B \subsetneqq A</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分不必要条件'''；
-# <math>p \Rightarrow q</math>， <math>q \Rightarrow p</math>, 则 <math>p \Leftrightarrow q</math>, 象征 <math>A = B</math>, 则 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''，简称'''充要条件'''；
-== 含有量词的命题 ==
+'''示例'''：
+对于任意实数 <math>x</math>，有 <math>x^2 \geq 0</math>
+符号表示：<math>\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 \geq 0</math>
-=== 全称量词命题 ===
-对 <math>M</math> 的任意一个元素 <math>x</math>，有 <math>p(x)</math> 成立：
+==== 存在量词命题 ====
+存在集合 <math>M</math> 中的某个元素 <math>x</math>，使得命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：
+<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>
-<math>\forall \; x \in M , \; p(x)</math>
+其中“<math>\exists</math>”称为'''存在量词'''，表示“存在”“至少有一个”等含义。
-上面这种命题叫'''全称量词命题'''. 在数学上，“任意”“每一个”等'''全称量词'''用符号 <math>\forall</math> 表示.
+'''示例'''：
+存在整数 <math>n</math>，使得 <math>n^2 - 1 = 0</math>
+符号表示：<math>\exists n \in \mathbb{Z}, \; n^2 - 1 = 0</math>
-例如：对于任意实数 <math>a , \; a^2 + 1 > 0</math>.
-用符号表示是：<math>\forall \; x \in R , \; a^2 + 1 > 0</math>
+=== 含量词命题的否定 ===
-=== 存在量词命题 ===
+==== 全称命题的否定 ====
+原命题：<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>
+否定命题：<math>\exists x_0 \in M, \; \neg p(x_0)</math>
-对 <math>M</math> 的某个元素 <math>x</math>，使 <math>p(x)</math> 成立：
+'''示例'''：
+原命题：所有三角形内角和为180°
+否定：存在一个三角形，其内角和不为180°
-<math>\exists  \; x \in M, \; p(x)</math>
-上面这种命题叫'''存在量词命题'''. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等'''存在量词'''用符号 <math>\exists</math> 表示.
+==== 存在命题的否定 ====
+原命题：<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>
+否定命题：<math>\forall x \in M, \; \neg p(x)</math>
-例如：存在某个整数 <math>a</math>, 使得 <math>a^2 - 1 </math> 是 <math>5</math> 的倍数.
+'''示例'''：
+原命题：存在实数 <math>x</math>，使得 <math>x^2 < 0</math>
+否定：对于所有实数 <math>x</math>，均有 <math>x^2 \geq 0</math>
-用符号表示是：<math>\exists  \; x \in Z, \; \frac{a^2 - 1}{5} \in Z</math>
-== 含量词命题的否定 ==
-=== 全称量词命题 ===
-原命题：<math>\forall  \; x, \; p(x)</math>
-否定命题：<math>\exists \; x_0, \; \neg p(x)</math>
-=== 存在量词命题 ===
-原命题：<math>\exists  \; x, \; p(x)</math>
-否定命题：<math>\forall \; x, \; \neg p(x)</math>
-=== 示例 ===
-原命题：<math>\exists  \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 > 0</math>
-否定命题：<math>\forall  \; x \in R, \; - 2x^2 + 4x - 3 \le 0</math>
 [[分类:数学]]

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