逻辑用语

使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做逻辑用语

命题

命题的共同特征是作出了判断。要么成立，要么不成立。这种语句叫做命题.

成立的命题叫做真命题，不成立的命题叫做假命题.

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为猜想.

命题由条件和结论组成。

命题一般都具有“若 $p$，则 $q$”的形式，其中 $p$ 叫做命题的条件，$q$ 叫做命题的结论。

一般来说，命题是就是一个陈述句。

命题结构

结构是：若 $p$ 则 $q$.

否定是：若 $p$ 则 $\mathrm{\neg }q$.

否命题：若 $\mathrm{\neg }p$ 则 $\mathrm{\neg }q$.

逆命题：若 $q$ 则 $p$.

充分条件和必要条件

1. $p\Rightarrow q$, 象征 $A\subseteq B$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分条件；

2. $p\Rightarrow q$， $q\Rightarrow ̸p$, 象征 $A⫋B$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；

3. $q\Rightarrow p$， $p\Rightarrow ̸q$, 象征 $B⫋A$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；

4. $p\Rightarrow q$， $q\Rightarrow p$, 则 $p\iff q$, 象征 $A=B$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件；

含有量词的命题

全称量词命题

对 $M$ 的任意一个元素 $x$，有 $p(x)$ 成立：

$\mathrm{\forall }x\in M,p(x)$

上面这种命题叫全称量词命题. 在数学上，“任意”“每一个”等全称量词用符号 $\mathrm{\forall }$ 表示.

例如：对于任意实数 $a,a^2+1>0$.

用符号表示是：$\mathrm{\forall }x\in R,a^2+1>0$

存在量词命题

对 $M$ 的某个元素 $x$，使 $p(x)$ 成立：

$\mathrm{\exists }x\in M,p(x)$

上面这种命题叫存在量词命题. 在数学上，“存在某个”“至少有一个”等存在量词用符号 $\mathrm{\exists }$ 表示.

例如：存在某个整数 $a$, 使得 $a^2-1$ 是 $5$ 的倍数.

用符号表示是：$\mathrm{\exists }x\in Z,\frac{a^2-1}{5}\in Z$

含量词命题的否定

全称量词命题

原命题：$\mathrm{\forall }x,p(x)$

否定命题：$\mathrm{\exists }{x}_0,\mathrm{\neg }p(x)$

存在量词命题

原命题：$\mathrm{\exists }x,p(x)$

否定命题：$\mathrm{\forall }x,\mathrm{\neg }p(x)$