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使用“若”“推出”“就”“所有”“或”等词语写出，且用于引入概念、表述规律、推导定理等的句子句和词语，经过规范化使之意义更加清楚严谨后，叫做'''逻辑用语'''

== 命题 ==

命题的共同特征是作出了判断。任何命题要么成立，要么不成立，这种语句叫做'''命题'''.

成立的命题叫做'''真命题'''，不成立的命题叫做'''假命题'''.

数学中存在暂时不知道真假的命题，称之为'''猜想'''.

命题由条件和结论组成。一般形式为“若 <math>p</math>，则 <math>q</math>”，其中 <math>p</math> 称为命题的条件，<math>q</math> 称为命题的结论。

=== 命题结构 ===

<big>标准结构：'''若 <math>p</math>，则 <math>q</math>'''，记作 <math>p \Rightarrow q</math></big>

* 命题的否定：<math>p \Rightarrow \neg q</math>
* 否命题：<math>\neg p \Rightarrow \neg q</math>
* 逆命题：<math>q \Rightarrow p</math>
* 逆否命题：<math>\neg q \Rightarrow \neg p</math>

=== 充分条件和必要条件 ===

{| class="wikitable"
|-
! 条件关系 !! 逻辑表示 !! 集合表示 !! 定义
|-
| 充分条件 || <math>p \Rightarrow q</math> || <math>A \subseteq B</math> || 若 <math>p</math> 成立，则 <math>q</math> 一定成立
|-
| 充分不必要条件 || <math>p \Rightarrow q</math> 且 <math>q \not\Rightarrow p</math> || <math>A \subsetneqq B</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的充分条件，但非必要条件
|-
| 必要不充分条件 || <math>q \Rightarrow p</math> 且 <math>p \not\Rightarrow q</math> || <math>B \subsetneqq A</math> || <math>p</math> 是 <math>q</math> 的必要条件，但非充分条件
|-
| 充要条件 || <math>p \Leftrightarrow q</math> || <math>A = B</math> || <math>p</math> 成立当且仅当 <math>q</math> 成立
|}


=== 含有量词的命题 ===

==== 全称量词命题 ====
对给定集合 <math>M</math> 中的任意一个元素 <math>x</math>，命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：
<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>

其中“<math>\forall</math>”称为'''全称量词'''，表示“任意”“所有”“每一个”等含义。

'''示例'''：  
对于任意实数 <math>x</math>，有 <math>x^2 \geq 0</math>  
符号表示：<math>\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 \geq 0</math>


==== 存在量词命题 ====
存在集合 <math>M</math> 中的某个元素 <math>x</math>，使得命题 <math>p(x)</math> 成立，记作：
<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>

其中“<math>\exists</math>”称为'''存在量词'''，表示“存在”“至少有一个”等含义。

'''示例'''：  
存在整数 <math>n</math>，使得 <math>n^2 - 1 = 0</math>  
符号表示：<math>\exists n \in \mathbb{Z}, \; n^2 - 1 = 0</math>


=== 含量词命题的否定 ===

==== 全称命题的否定 ====
原命题：<math>\forall x \in M, \; p(x)</math>  
否定命题：<math>\exists x_0 \in M, \; \neg p(x_0)</math>

'''示例'''：  
原命题：所有三角形内角和为180°  
否定：存在一个三角形，其内角和不为180°


==== 存在命题的否定 ====
原命题：<math>\exists x \in M, \; p(x)</math>  
否定命题：<math>\forall x \in M, \; \neg p(x)</math>

'''示例'''：  
原命题：存在实数 <math>x</math>，使得 <math>x^2 < 0</math>  
否定：对于所有实数 <math>x</math>，均有 <math>x^2 \geq 0</math>


[[分类:数学]]