概率

帮助我们量化“可能性”.

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概述

概率用于描述某个事件发生的可能程度，是研究随机现象的基础工具.

在高中阶段，概率的核心思想是：在不确定中寻找规律.

随机事件

随机事件是指在相同条件下重复试验时，结果具有不确定性的事件.

• 例如：掷骰子、摸球、抽签.
• 事件通常用大写字母表示，如 $A$、$B$、$C$.
• 事件的发生与否具有随机性，但长期重复会呈现稳定的频率.

古典概型

当试验的所有基本结果等可能发生时，可以使用古典概型计算概率.

• 概率公式：$P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}$.
• 常见场景：掷骰子、扑克牌、摸球问题.
• 特点：要求“等可能”，否则不能使用.

条件概率

在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率.

• 定义：$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• 读作“在 $B$ 已发生的条件下，$A$ 发生的概率”.
• 条件概率常用于分步事件、筛选问题、路径问题等.

独立性

如果事件 $A$ 的发生不影响事件 $B$ 的发生，则称 $A$ 与 $B$ 独立.

• 数学表达：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• 独立性不是“互斥”，两者概念不同：
  • 互斥：不能同时发生.
  • 独立：互不影响.

全概率公式

当事件 $A$ 可以通过若干互不相容的情形分解时，可以用全概率公式计算.

• 若 $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ 为完备事件组，则：

$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$.

常用于分情况、路径、分类讨论的问题.

贝叶斯公式

用于反向推断，即根据结果推测原因.

• 公式：

$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum _{k=1}^{n}P(B_k)P(A|B_k)}$.

常见于医学检测、筛查、分类判断等问题.

概率的基本性质

• $0\le P(A)\le 1$.
• 必然事件概率为 $1$，不可能事件概率为 $0$.
• 若 A、B 互斥，则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
• 一般情况下：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.