立体几何

基本概念

空间几何体

由点、线、面构成的空间图形叫做空间几何体，常见类型包括：

• 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（如棱柱、棱锥、棱台）
• 旋转体：由平面图形绕某条直线旋转而成的几何体（如圆柱、圆锥、圆台、球）

多面体

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

概念：

• 互相平行的两个面叫做棱柱的底面（上底、下底）；
• 其余各面叫做棱柱的侧面；
• 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
• 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；

分类：

• 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
• 按侧棱与底面关系：
  • 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
  • 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。

性质：

• 底面互相平行且全等；
• 侧棱互相平行且相等；
• 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥。

概念：

• 多边形面叫做棱锥的底面；
• 其余各面叫做棱锥的侧面；
• 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；
• 顶点到底面的距离叫做棱锥的高；

分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。

性质：

• 底面是多边形；
• 侧面是有公共顶点的三角形。

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

相关概念：

• 原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底和上底；
• 其余各面叫做棱台的侧面；
• 相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；

分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。

性质：

• 上下底面互相平行且相似；
• 侧棱延长后交于一点。

旋转体

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

概念：

• 旋转轴叫做圆柱的轴；
• 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
• 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
• 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的母线。

性质：

• 两个底面是全等的圆，且互相平行；
• 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
• 轴截面（过轴的截面）是矩形。

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

概念：

• 旋转轴叫做圆锥的轴；
• 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
• 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
• 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线。

性质：

• 底面是圆；
• 母线交于顶点，长度相等；
• 轴截面是等腰三角形。

球

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。

概念：

• 半圆的圆心叫做球的球心；
• 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
• 连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径

性质：

• 球面上任意一点到球心的距离都等于半径
• 用平面截球，截面是圆（过球心的截面是大圆，否则是小圆）

空间几何体的表面积与体积

表面积公式

常见立体图形表面积公式

图形名称	表面积公式	符号说明
正方体	$S=6a^2$	$a$ 为正方体棱长
长方体	$S=2(ab+bc+ac)$	$a,b,c$ 分别为长方体的长、宽、高
球体	$S=4\pi R^2$	$R$ 为球的半径
圆柱体	$S=2\pi r^2+2\pi rh$	$r$ 为底面半径，$h$ 为高
圆锥体	$S=\pi r^2+\pi rl$	$r$ 为底面半径，$l$ 为母线长（$l=\sqrt{r^2+h^2}$）
正三棱锥	$S=S_{\text{底}}+3\times \frac{1}{2}a{h}^{\prime }$	$a$ 为底面边长，$h^{\prime }$ 为斜高
正四棱锥	$S=a^2+2a\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$	$a$ 为底面边长，$h$ 为高
棱柱	$S=2S_{\text{底}}+S_{\text{侧}}$	$S_{\text{底}}$ 为底面积，$S_{\text{侧}}$ 为侧面积
棱台	$S=S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+S_{\text{侧}}$	$S_{\text{上}},S_{\text{下}}$ 为上下底面积，$S_{\text{侧}}$ 为侧面积

体积公式

常见立体图形体积公式

图形名称	体积公式	符号说明
正方体	$V=a^3$	$a$ 为正方体棱长
长方体	$V=abc$	$a,b,c$ 分别为长方体的长、宽、高
球体	$V=\frac{4}{3}\pi R^3$	$R$ 为球的半径
圆柱体	$V=\pi r^{2}h$	$r$ 为底面半径，$h$ 为高
圆锥体	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$r$ 为底面半径，$h$ 为高
棱锥体	$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$	$S_{\text{底}}$ 为底面积，$h$ 为高
棱柱体	$V=S_{\text{底}}h$	$S_{\text{底}}$ 为底面积，$h$ 为高
棱台	$V=\frac{1}{3}h(S_{\text{上}}+S_{\text{下}}+\sqrt{S_{\text{上}}{S}_{\text{下}}})$	$S_{\text{上}},S_{\text{下}}$ 为上下底面积，$h$ 为高

空间点、直线、平面的位置关系

平面的基本性质

1. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（$A\in l,B\in l,A\in \alpha ,B\in \alpha \Rightarrow l\subset \alpha$）；

1. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）；

1. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（$P\in \alpha ,P\in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta =l,P\in l$）。

空间中直线与直线的位置关系

共面直线：

• 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
• 平行直线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。

空间中直线与平面的位置关系

• 直线在平面内：有无数个公共点（$l\subset \alpha$）；
• 直线与平面相交：有且只有一个公共点（$l\cap \alpha =A$）；
• 直线与平面平行：没有公共点（$l\parallel \alpha$）。

空间中平面与平面的位置关系

• 两个平面平行：没有公共点（$\alpha \parallel \beta$）；
• 两个平面相交：有一条公共直线（$\alpha \cap \beta =l$）。