向量

既有大小又有方向的量叫做向量（物理中称为矢量），如速度、力等。

向量的大小叫做向量的模（或长度），记作 $| \vec{a} |$ 或 $| a |$ 。
只有大小没有方向的量叫做数量（物理中称为标量），如长度、面积、质量等。

特殊向量

零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 0→ 或 0。
- 零向量的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量。
- 对于任意非零向量 $\vec{a}$ ，与它同方向的单位向量记作 $\vec{a_{0}}$ ，且 $\vec{a_{0}} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ 。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
- 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，记作 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 。
- 规定：零向量与任意向量平行，即 $\vec{0} ∥ \vec{a}$ 。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
- 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 相等，记作 $\vec{a} = \vec{b}$ 。
- 相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。

向量的表示方法

几何表示法

用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的向量记作 $\vec{A B}$ ，其模记作 $| \vec{A B} |$ 。

字母表示法

用单个小写字母表示，如 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 或 $a$ 、 $b$ （粗体字母）。

坐标表示法

在平面直角坐标系中，设向量 $\vec{a}$ 的起点在原点，终点坐标为 $(x, y)$ ，则向量 $\vec{a}$ 可以表示为 $(x, y)$ ，其中 $x$ 、 $y$ 叫做向量 $\vec{a}$ 的坐标。

向量的模：若 $\vec{a} = (x, y)$ ，则 $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 。
零向量的坐标为 $(0, 0)$ 。

向量的运算

向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

三角形法则：已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在平面内任取一点 $A$ ，作 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{A C}$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{a} + \vec{b}$ ，即 $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ 。

平行四边形法则：已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在平面内任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，以 $O A$ 、 $O B$ 为邻边作平行四边形 $O A C B$ ，则向量 $\vec{O C}$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，即 $\vec{O C} = \vec{a} + \vec{b}$ 。

坐标运算：若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ 。

运算律：

交换律： $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
结合律： $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$

向量的减法

求两个向量差的运算叫做向量的减法。

几何意义：已知非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，在平面内任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{B A} = \vec{a} - \vec{b}$ （即从向量 $\vec{b}$ 的终点指向向量 $\vec{a}$ 的终点的向量）。

坐标运算：若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})$ 。

向量的数乘

实数 $λ$ 与向量 $\vec{a}$ 的积是一个向量，叫做向量的数乘，记作 $λ \vec{a}$ 。

规定：

模： $| λ \vec{a} | = | λ | \cdot | \vec{a} |$
方向：当 $λ > 0$ 时， $λ \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相同；当 $λ < 0$ 时， $λ \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反；当 $λ = 0$ 时， $λ \vec{a} = \vec{0}$ 。

坐标运算：若 $\vec{a} = (x, y)$ ，则 $λ \vec{a} = (λ x, λ y)$ 。

运算律：

$λ (μ \vec{a}) = (λ μ) \vec{a}$
$(λ + μ) \vec{a} = λ \vec{a} + μ \vec{a}$
$λ (\vec{a} + \vec{b}) = λ \vec{a} + λ \vec{b}$

向量的数量积（点乘）

已知两个非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，它们的夹角为 $θ$ ，则数量 $| \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（或内积），记作 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 。

零向量与任一向量的数量积为0，即 $\vec{0} \cdot \vec{a} = 0$ 。

几何意义：数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于 $\vec{a}$ 的长度 $| \vec{a} |$ 与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影 $| \vec{b} | \cos θ$ 的乘积。

坐标运算：若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 。

运算律：

交换律： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
数乘结合律： $(λ \vec{a}) \cdot \vec{b} = λ (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (λ \vec{b})$
分配律： $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

向量平行与垂直的条件

平行条件

设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ （ $\vec{b} \neq \vec{0}$ ），则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ （即存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ）。

垂直条件

设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ 为非零向量，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件是 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，即 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ 。