分类:函数

描述自变量与因变量之间的依赖关系。

1. 设 ${\displaystyle A,B}$ 是非空的数集，
2. 如果对于集合 ${\displaystyle A}$ 中任意一个数 ${\displaystyle x}$，
3. 按照某种确定的对应关系 ${\displaystyle f}$，
4. 在集合 ${\displaystyle B}$ 中都有唯一确定的数 ${\displaystyle y}$ 和它对应，
5. 那么就称 ${\displaystyle f:A\to B}$ 为从集合 ${\displaystyle A}$ 到集合 ${\displaystyle B}$ 的一个函数，记作 ${\displaystyle y=f(x),x\in A}$.

• ${\displaystyle x}$ 叫做自变量，
• ${\displaystyle x}$ 的取值范围 ${\displaystyle A}$ 叫做函数的定义域，
• 与 ${\displaystyle x}$ 的值相对应的 ${\displaystyle y}$ 值叫做函数值，
• 函数值的集合 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}}$ 叫做函数的值域.

• 定义域 ${\displaystyle A}$
• 对应法则 ${\displaystyle f}$
• 值域 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}}$

若两个函数的定义域和对应法则相同，则它们是同一函数。

• 函数是一种特殊的映射，其中集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 都是数集。
• 函数的对应关系必须满足**单值性**，即每个 ${\displaystyle x\in A}$ 只能对应一个 ${\displaystyle y\in B}$。

这是初中笔记吗，怎么还写上表示方法了（？

用数学表达式（解析式）来表示函数关系的方法。

• 优点：精确、便于计算和分析。

示例：

• 一次函数：${\displaystyle y=kx+b}$
• 二次函数：${\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}$
• 反比例函数：${\displaystyle y=\frac{k}{x}}$
• 三角函数：${\displaystyle y=\sin x}$

通过列出表格来表示函数的方法，通常用于定义域为有限集的情况。

• 优点：直观、便于查询具体函数值。

示例：

${\displaystyle x}$	-2	-1	0	1	2
${\displaystyle f(x)}$	4	1	0	1	4

用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法。

• 优点：直观展示函数的变化趋势和性质。
• 图像的定义：函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的图像是坐标平面上的点集 ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}$。
• 函数图像与垂直直线的交点：任意垂直于 x 轴的直线与函数图像至多有一个交点（单值性的几何意义）。

函数的定义域是自变量 ${\displaystyle x}$ 的取值范围，通常由以下因素确定： 1. 解析式有意义的条件（如分母不为零、偶次根号内非负等） 2. 实际问题的限制（如时间、长度等非负） 3. 人为约定的范围

1. 写出解析式有意义的不等式（组） 2. 解不等式（组） 3. 用集合或区间表示解集

• 函数 ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}}$ 的定义域为 ${\displaystyle x\ne 1}$，即 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },1)\cup (1,+\mathrm{\infty })}$
• 函数 ${\displaystyle f(x)=\sqrt{x+2}}$ 的定义域为 ${\displaystyle x\ge -2}$，即 ${\displaystyle [-2,+\mathrm{\infty })}$

函数的值域是函数值的集合，通常由定义域和对应法则共同确定。

• 值域是集合 ${\displaystyle B}$ 的子集，即 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}\subseteq B}$
• 求值域的方法：观察法、配方法、反函数法、判别式法等

函数奇偶性的定义

	偶函数	奇函数
文字语言	如果 ${\displaystyle F(x)}$ 的图像是以 ${\displaystyle y}$ 轴为对称轴的轴对称图形，就称 ${\displaystyle F(x)}$ 是偶函数	如果 ${\displaystyle F(x)}$ 的图像是以原点为中心的中心对称图形，就称 ${\displaystyle F(x)}$ 是奇函数
符号语言	如果对一切使 ${\displaystyle F(x)}$ 有定义的 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle F(-x)}$ 也有定义，并且 ${\displaystyle F(-x)=F(x)}$，则称 ${\displaystyle F(x)}$ 为奇函数	如果对一切使 ${\displaystyle F(x)}$ 有定义的 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle F(-x)}$ 也有定义，并且 ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$，则称 ${\displaystyle F(x)}$ 为奇函数
定义域特征	定义域必须是关于原点对称的区间

……↑大概意思就是说：

• ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$ 就是奇函数；
• ${\displaystyle F(-x)=F(x)}$ 就是偶函数.

函数按奇偶性分类：

1. 奇函数；
2. 偶函数；
3. 既是奇函数又是偶函数；
4. 非奇非偶函数.

简单题如：

已知 ${\displaystyle f(x+1)=x^2}$，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式.

可把 ${\displaystyle f(x+1)=x^2}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 换成 ${\displaystyle x-1}$，得 ${\displaystyle f(x)=(x-1{)}^2}$.

原函数表达式为 ${\displaystyle f(t)=g(x)}$，${\displaystyle t}$ 是关于 ${\displaystyle x}$ 的式子，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式

这时要把 ${\displaystyle g(x)}$ 通过变形、整理，使其变为只含 ${\displaystyle t}$ 与常数的式子，然后将 ${\displaystyle t}$ 换成 ${\displaystyle x}$，即可得到 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式.

把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

${\displaystyle f(g(x))=\phi (x)}$，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的表达式.

令 ${\displaystyle t=g(x)}$，从中解出 ${\displaystyle x=h(t)}$，代入右边 ${\displaystyle \phi (x)}$ 整理可得 ${\displaystyle f(t)}$ 的表达式.

• 注意自变量 ${\displaystyle t}$ 的取值范围是函数 ${\displaystyle t=g(x)}$ 的值域，不是已知条件中 ${\displaystyle x}$ 的取值范围.

使用字母来表示确定的系数.

<待补充>

又称消元法.

<待补充>

又称特殊值法.

<待补充>