向量

既有大小又有方向的量叫做向量（也称为矢量）。

• 向量的大小叫做向量的模（或长度），记作 $|\overrightarrow{a}|$ 或 $|\mathit{a}|$。
• 只有大小没有方向的量叫做数量（也称为标量），如长度、面积、质量等。

特殊向量

• 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 $\overrightarrow{0}$ 或 $\mathit{0}$。
  • 零向量的方向是任意的。
• 单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量。
  • 对于任意非零向量 $\overrightarrow{a}$，与它同方向的单位向量记作 $\overrightarrow{a_0}$，且 $\overrightarrow{a_0}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$。
• 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
  • 向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 平行，记作 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$。
  • 规定：零向量与任意向量平行，即 $\overrightarrow{0}\parallel \overrightarrow{a}$。
• 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
  • 向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 相等，记作 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$。
  • 相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。

几何表示法

用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以 $A$ 为起点、$B$ 为终点的向量记作 $\overrightarrow{AB}$，其模记作 $|\overrightarrow{AB}|$。

字母表示法

用单个小写字母表示，如 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 或 $\mathit{a}$、$\mathit{b}$（粗体字母）。

坐标表示法

在平面直角坐标系中，设向量 $\overrightarrow{a}$ 的起点在原点，终点坐标为 $(x,y)$，则向量 $\overrightarrow{a}$ 可以表示为 $(x,y)$，其中 $x$、$y$ 叫做向量 $\overrightarrow{a}$ 的坐标。

• 向量的模：若 $\overrightarrow{a}=(x,y)$，则 $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。
• 零向量的坐标为 $(0,0)$。

向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

三角形法则：已知非零向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点 $A$，作 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 叫做 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的和，记作 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

平行四边形法则：已知非零向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，以 $OA$、$OB$ 为邻边作平行四边形 $OACB$，则向量 $\overrightarrow{OC}$ 叫做 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的和，即 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。

坐标运算：若 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。

运算律：

• 交换律：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
• 结合律：$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

向量的减法

求两个向量差的运算叫做向量的减法。

几何意义：已知非零向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则向量 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$（即从向量 $\overrightarrow{b}$ 的终点指向向量 $\overrightarrow{a}$ 的终点的向量）。

坐标运算：若 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。

向量的数乘

实数 $\lambda$ 与向量 $\overrightarrow{a}$ 的积是一个向量，叫做向量的数乘，记作 $\lambda \overrightarrow{a}$。

规定：

• 模：$|\lambda \overrightarrow{a}|=|\lambda |\cdot |\overrightarrow{a}|$
• 方向：当 $\lambda >0$ 时，$\lambda \overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 方向相同；当 $\lambda <0$ 时，$\lambda \overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{a}$ 方向相反；当 $\lambda =0$ 时，$\lambda \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$。

坐标运算：若 $\overrightarrow{a}=(x,y)$，则 $\lambda \overrightarrow{a}=(\lambda x,\lambda y)$。

运算律：

• $\lambda (\mu \overrightarrow{a})=(\lambda \mu )\overrightarrow{a}$
• $(\lambda +\mu )\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{a}$
• $\lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}$

向量的数量积（点乘）

已知两个非零向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则数量 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ 叫做 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的数量积（或内积），记作 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$。

• 零向量与任一向量的数量积为0，即 $\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{a}=0$。

几何意义：数量积 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 等于 $\overrightarrow{a}$ 的长度 $|\overrightarrow{a}|$ 与 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 方向上的投影 $|\overrightarrow{b}|\cos \theta$ 的乘积。

坐标运算：若 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

运算律：

• 交换律：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
• 数乘结合律：$(\lambda \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=\lambda (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot (\lambda \overrightarrow{b})$
• 分配律：$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$

平行条件

设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$（$\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$），则 $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$ 的充要条件是 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$（即存在实数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$）。

垂直条件

设 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$ 为非零向量，则 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ 的充要条件是 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，即 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。