概率：修订间差异

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帮助我们量化“可能性”.

概率用于描述某个事件发生的可能程度，是研究随机现象的基础工具.

在高中阶段，概率的核心思想是：'''在不确定中寻找规律'''.

== 随机事件 ==

例如：掷骰子、摸球、抽签.

随机事件是指在相同条件下重复试验时，结果具有不确定性的事件.

* 例如：掷骰子、摸球、抽签.

* 事件通常用大写字母表示，如 <math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>.

* 事件的发生与否具有随机性，但长期重复会呈现稳定的频率.

== 古典概型 ==

~~所有结果等可能时：~~<math>P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}</math>.

当试验的所有基本结果等可能发生时，可以使用古典概型计算概率.

* 概率公式：<math>P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}</math>.

* 常见场景：掷骰子、扑克牌、摸球问题.

* 特点：要求“等可能”，否则不能使用.

== 条件概率 ==

~~在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率：~~<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.

在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率.

== ~~全概率公式、贝叶斯公式~~ ==

* 定义：<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.

~~用于处理复杂事件的概率计算~~.

* 读作“在 <math>B</math> 已发生的条件下，<math>A</math> 发生的概率”.

* 条件概率常用于分步事件、筛选问题、路径问题等.

== 独立性 ==

如果事件 <math>A</math> 的发生不影响事件 <math>B</math> 的发生，则称 <math>A</math> 与 <math>B</math> 独立.

* 数学表达：<math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>.

* 独立性不是“互斥”，两者概念不同：

** 互斥：不能同时发生.

** 独立：互不影响.

== 全概率公式 ==

当事件 <math>A</math> 可以通过若干互不相容的情形分解时，可以用全概率公式计算.

* 若 <math>\{B_1,B_2,\ldots,B_n\}</math> 为完备事件组，则：

<math>P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)</math>.

常用于分情况、路径、分类讨论的问题.

== 贝叶斯公式 ==

用于'''反向推断'''，即根据结果推测原因.

* 公式：

<math>P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{k=1}^n P(B_k)P(A|B_k)}</math>.

常见于医学检测、筛查、分类判断等问题.

== 概率的基本性质 ==

* <math>0 \le P(A) \le 1</math>.

* 必然事件概率为 <math>1</math>，不可能事件概率为 <math>0</math>.

* 若 A、B 互斥，则 <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>.

* 一般情况下：<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>.

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