分类:函数：修订间差异

描述自变量与因变量之间的依赖关系。

1. 设 ${\displaystyle A,B}$ 是非空的数集，
2. 如果对于集合 ${\displaystyle A}$ 中任意一个数 ${\displaystyle x}$，
3. 按照某种确定的对应关系 ${\displaystyle f}$，
4. 在集合 ${\displaystyle B}$ 中都有唯一确定的数 ${\displaystyle y}$ 和它对应，
5. 那么就称 ${\displaystyle f:A\to B}$ 为从集合 ${\displaystyle A}$ 到集合 ${\displaystyle B}$ 的一个函数，记作 ${\displaystyle y=f(x),x\in A}$.

• ${\displaystyle x}$ 叫做自变量，
• ${\displaystyle x}$ 的取值范围 ${\displaystyle A}$ 叫做函数的定义域，
• 与 ${\displaystyle x}$ 的值相对应的 ${\displaystyle y}$ 值叫做函数值，
• 函数值的集合 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}}$ 叫做函数的值域.

• 定义域 ${\displaystyle A}$
• 对应法则 ${\displaystyle f}$
• 值域 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}}$

若两个函数的定义域和对应法则相同，则它们是同一函数。

• 函数是一种特殊的映射，其中集合 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ 都是数集。
• 函数的对应关系必须满足**单值性**，即每个 ${\displaystyle x\in A}$ 只能对应一个 ${\displaystyle y\in B}$。

这是初中笔记吗，怎么还写上表示方法了（？

用数学表达式（解析式）来表示函数关系的方法。

• 优点：精确、便于计算和分析。

示例：

• 一次函数：${\displaystyle y=kx+b}$
• 二次函数：${\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}$
• 反比例函数：${\displaystyle y=\frac{k}{x}}$
• 三角函数：${\displaystyle y=\sin x}$

通过列出表格来表示函数的方法，通常用于定义域为有限集的情况。

• 优点：直观、便于查询具体函数值。

示例：

用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法。

• 优点：直观展示函数的变化趋势和性质。
• 图像的定义：函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的图像是坐标平面上的点集 ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}$。
• 函数图像与垂直直线的交点：任意垂直于 x 轴的直线与函数图像至多有一个交点（单值性的几何意义）。

函数的定义域是自变量 ${\displaystyle x}$ 的取值范围，通常由以下因素确定： 1. 解析式有意义的条件（如分母不为零、偶次根号内非负等） 2. 实际问题的限制（如时间、长度等非负） 3. 人为约定的范围

1. 写出解析式有意义的不等式（组） 2. 解不等式（组） 3. 用集合或区间表示解集

• 函数 ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-1}}$ 的定义域为 ${\displaystyle x\ne 1}$，即 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },1)\cup (1,+\mathrm{\infty })}$
• 函数 ${\displaystyle f(x)=\sqrt{x+2}}$ 的定义域为 ${\displaystyle x\ge -2}$，即 ${\displaystyle [-2,+\mathrm{\infty })}$

函数的值域是函数值的集合，通常由定义域和对应法则共同确定。

• 值域是集合 ${\displaystyle B}$ 的子集，即 ${\displaystyle \{f(x)\mid x\in A\}\subseteq B}$
• 求值域的方法：观察法、配方法、反函数法、判别式法等

……↑大概意思就是说：

• ${\displaystyle F(-x)=-F(x)}$ 就是奇函数；
• ${\displaystyle F(-x)=F(x)}$ 就是偶函数.

函数按奇偶性分类：

1. 奇函数；
2. 偶函数；
3. 既是奇函数又是偶函数；
4. 非奇非偶函数.

简单题如：

已知 ${\displaystyle f(x+1)=x^2}$，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式.

可把 ${\displaystyle f(x+1)=x^2}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 换成 ${\displaystyle x-1}$，得 ${\displaystyle f(x)=(x-1{)}^2}$.

原函数表达式为 ${\displaystyle f(t)=g(x)}$，${\displaystyle t}$ 是关于 ${\displaystyle x}$ 的式子，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式

这时要把 ${\displaystyle g(x)}$ 通过变形、整理，使其变为只含 ${\displaystyle t}$ 与常数的式子，然后将 ${\displaystyle t}$ 换成 ${\displaystyle x}$，即可得到 ${\displaystyle f(x)}$ 的解析式.

把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

${\displaystyle f(g(x))=\phi (x)}$，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的表达式.

令 ${\displaystyle t=g(x)}$，从中解出 ${\displaystyle x=h(t)}$，代入右边 ${\displaystyle \phi (x)}$ 整理可得 ${\displaystyle f(t)}$ 的表达式.

• 注意自变量 ${\displaystyle t}$ 的取值范围是函数 ${\displaystyle t=g(x)}$ 的值域，不是已知条件中 ${\displaystyle x}$ 的取值范围.

使用字母来表示确定的系数.

已知 ${\displaystyle f(x)}$ 是一次函数，且 ${\displaystyle f(f(x))=4x-1}$，求 ${\displaystyle f(x)}$

设 ${\displaystyle f(x)=kx+b}$，那么 ${\displaystyle f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x-1}$

→ ${\displaystyle k^2+kb+b=4x-1}$

可解得 ${\displaystyle f(x)}$ 的表达式，为 ${\displaystyle f(x)=2x-\frac{1}{3}}$ 或 ${\displaystyle f(x)=-2x+1}$.

又称消元法，常用于已知多个条件、多个函数值，要求出函数解析式的情况.

把题目给出的条件写成关于未知函数的方程组，通过代入、消元等方式求出函数的解析式.

已知函数 ${\displaystyle f(x)}$ 满足 ${\displaystyle \{\begin{array}{l}f(1)=3\\ f(2)=5\end{array}}$ 且 ${\displaystyle f(x)}$ 是一次函数，求 ${\displaystyle f(x)}$.

设 ${\displaystyle f(x)=kx+b}$，代入条件得 ${\displaystyle \{\begin{array}{l}k+b=3\\ 2k+b=5\end{array}}$

解得 ${\displaystyle k=2,b=1}$， 所以 ${\displaystyle f(x)=2x+1}$。

又称特殊值法，适用于函数表达式较复杂、但可以通过代入特殊值来简化计算的情况.

选择合适的 ${\displaystyle x}$ 值，使表达式大幅简化，从而求出未知量.

已知 ${\displaystyle f(x)+f(2-x)=x}$，求 ${\displaystyle f(x)}$。

令 ${\displaystyle x=2}$，得 ${\displaystyle f(2)+f(0)=2}$ ……①

令 ${\displaystyle x=0}$，得 ${\displaystyle f(0)+f(2)=0}$ ……②

由①②联立可得 ${\displaystyle f(2)=1,f(0)=-1}$

再将 ${\displaystyle x}$ 代回原式整理，可求得一般形式的 ${\displaystyle f(x)}$。