不等式：修订间差异

第31行：

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> ~~都为正数，那么当且仅当~~ <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;

# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

第63行：

所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.

= 例题 =

== 基本不等式 ==

=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===

# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，

* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，

* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，

* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>

* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.

* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.

* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，

* 所以，<math>xy \leq 81</math>.

* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.

* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

[[分类:数学]]