不等式

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 $a-b>0$, 那么 $a>b$

如果 $a-b=0$, 那么 $a=b$

如果 $a-b<0$, 那么 $a<b$

反过来也成立. 即

$a>b\iff a-b>0$

$a=b\iff a-b=0$

$a<b\iff a-b<0$

所以，如要证明 $x\le a$, 只需证明 $x-a\le 0$ 即可.

基本不等式

把不等式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a>0,b>0)$ 称为基本不等式.

对任意 $a,b\in R,a^2+b^2\ge 2ab$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立.

对任意正数 $a,b,\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立.

一般地，对于正数 $a,b$，我们把 $\frac{a+b}{2}$ 称为 $a,b$ 的算数平均数，$\sqrt{ab}$ 称为 $a,b$ 的几何平均数.

拓展结论

1. 已知 $x,y$ 都为正数，那么当且仅当 $x=y$ 时，和 $x+y$有最小值 $2\sqrt{p}$;
2. 如果 $x+y$ 是定值 $s$，那么当且仅当 $x=y$ 时，积 $xy$ 有最大值 $\frac{s^2}{4}$.

由此可总结出：

当两个正数变量的积或和为定值时，他们的和有最小值或积有最大值

糖水原理

向容器中加入 $a$ 克水，$b$ 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 $\frac{a}{a+b}$.

再向容器中加入 $c$ 克糖，

得到质量分数为 $\frac{a+c}{a+b+c}$ 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$.

证明过程

其中，$a>b>0,c>0$.

作差证明：

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{ab+bc-ab-ac}{a(a+c)}=\frac{bc-ac}{a(a+c)}=\frac{c(b-a)}{a(a+c)}<0$

所以 $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$.