统计

用样本推断总体，用数据描述规律.

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统计研究如何从数据中提取信息，是理解现实世界规律的重要工具。在高中阶段，统计的核心思想是：用有限的样本推断未知的总体.

数据的集中趋势

集中趋势描述数据集中在什么位置.

• 平均数：所有数据的算术平均值，反映整体水平；
• 中位数：把数据按大小排列后处于中间位置的值，不受极端值影响；
• 众数：出现次数最多的数，适用于分类数据或离散数据.

数据的离散程度

离散程度描述数据“分散得有多开”.

• 方差：各数据与平均数的偏差平方的平均值；
• 标准差：方差的平方根，更直观地反映数据波动程度；
• 离散程度越大，数据越不稳定；越小，数据越集中.

抽样方法

抽样用于从总体中选取样本，以便进行推断。

• 简单随机抽样：每个个体被抽到的机会相同；
• 系统抽样：按固定间隔抽取，如每隔 $k$ 个抽一个；
• 抽样的目标是“代表性”，即样本能反映总体特征.

正态分布

正态分布是一种在自然界中非常常见的分布形状（“钟形曲线”）.

• 特点：对称、单峰、两侧逐渐下降；
• 大量自然现象（身高、测量误差、考试成绩）都近似服从正态分布；
• 标准差决定曲线的“胖瘦”，平均数决定曲线的“中心”.

统计量

统计量是用样本数据计算出的量，用于估计总体特征。

• 样本平均数 $\overline{x}$；
• 样本方差 $s^2$；
• 样本标准差 $s$.

统计量越稳定，推断越可靠.

统计的意义

统计帮助我们：

• 从数据中发现规律；
• 处理不确定性；
• 进行预测与判断；
• 支持科学研究与决策.