解三角形

解三角形指已知三角形的部分边角元素，求解其余边角的过程。

解三角形核心体系

万能公式（半角代换）

用半角正切统一表示三角函数（适合含复杂角度的方程）：

$\begin{array}{rl}\text{正弦：}& \sin A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1+{\tan }^2\frac{A}{2}}\\ \text{余弦：}& \cos A=\frac{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}{1+{\tan }^2\frac{A}{2}}\\ \text{正切：}& \tan A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}\end{array}$

应用示例：已知 $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{3}$，求 $\cos A$

解：$\cos A=\frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{1-1/9}{1+1/9}=\frac{8/9}{10/9}=0.8$

射影定理与变形

射影定理（余弦定理的变形）：

$\{\begin{array}{l}a=b\cos C+c\cos B\\ b=a\cos C+c\cos A\\ c=a\cos B+b\cos A\end{array}$

几何意义：任意边等于邻边在其余边上的投影之和（如图 （图片）

题型分类与解法

已知两角及一边（AAS/ASA）

步骤:

1. 用 $A+B+C=180^{\circ }$ 求第三角
2. 用正弦定理求另两边

例: $B=30^{\circ },C=45^{\circ },b=4$ 解：$A=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$

$a=\frac{4\sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}\approx 7.72$,

$c=\frac{4\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}\approx 5.66$

已知两边及夹角（SAS）

步骤:

1. 用余弦定理求第三边
2. 用正弦定理求较小边对角
3. 求第三角

例: $a=5,b=7,C=60^{\circ }$

解：$c^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\times \cos 60^{\circ }=39⟹c\approx 6.24$

$\sin A=\frac{5\sin 60^{\circ }}{6.24}\approx 0.693⟹A\approx 44^{\circ }$

$B=180^{\circ }-60^{\circ }-44^{\circ }=76^{\circ }$

已知三边（SSS）

步骤:

1. 用余弦定理求最大角
2. 用正弦定理求另一角
3. 求第三角

例: $a=3,b=4,c=5$

解：$\cos C=\frac{3^2+4^2-5^2}{2\times 3\times 4}=0⟹C=90^{\circ }$

$\sin A=\frac{3\sin 90^{\circ }}{5}=0.6⟹A\approx 36.87^{\circ }$

$B\approx 53.13^{\circ }$

已知两边及一对角（SSA）

例: $a=\sqrt{2},b=2,A=30^{\circ }$

解：$b\sin A=2\times 0.5=1$, ∵ $1<\sqrt{2}<2$ ∴ 两解

$\sin B=\frac{2\sin 30^{\circ }}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹B_1=45^{\circ },B_2=135^{\circ }$

• $B_1=45^{\circ }$ 时: $C_1=105^{\circ },c_1\approx 3.86$

• $B_2=135^{\circ }$ 时: $C_2=15^{\circ },c_2\approx 1.04$

例: $a=7,b=5,c=8$

$\cos C=\frac{7^2+5^2-8^2}{2\times 7\times 5}=\frac{-10}{70}<0⟹\text{钝角三角形}$

进阶应用

综合例题

问题: 已知 $a=6,\sin B=\frac{\sqrt{3}}{3},\cos C=\frac{1}{4}$，求 $c$ 和面积 $S$

解法:

1. 由 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 得 $\cos B=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
2. $\sin C=\sqrt{1-(1/4{)}^2}=\sqrt{15}/4$
3. 分情况：
   1. $\cos B=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时：$\cos A=-\cos (B+C)=-(\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{4})+(\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4})=\frac{-\sqrt{6}+3\sqrt{5}}{12}$
   2. $\cos B=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时：$\cos A=-(-\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{4})+(\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4})=\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{5}}{12}$
4. 两种情形 $\cos A>0$ → 两解
5. 分别用 $c=a\frac{\sin C}{\sin A}$ 和 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 计算

常用三角恒等式

• 内角和恒等：$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
• 边角互化：$a+b=2R(\sin A+\sin B)$
• 和差公式：$\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
• 二倍角：$\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A=2{\cos }^{2}A-1$

典型错误

• SSA多解陷阱：当 $\mathrm{\angle }A<90^{\circ }$ 且 $b\sin A<a<b$ 时必有两解
• 钝角判断错误：当 $\cos \theta <0$ 时角为钝角（非锐角）
• 计算器模式：确保设置为角度制（DEG）而非弧度制（RAD）
• 海伦公式验证：使用前需满足三角不等式 $a+b>c$