不等式

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 $a-b>0$, 那么 $a>b$

如果 $a-b=0$, 那么 $a=b$

如果 $a-b<0$, 那么 $a<b$

反过来也成立. 即

$a>b\iff a-b>0$

$a=b\iff a-b=0$

$a<b\iff a-b<0$

所以，如要证明 $x\le a$, 只需证明 $x-a\le 0$ 即可.

基本不等式

可由 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2},(a\ne b)$ 得到.

$a^2+b^2>2ab(a\ne b)$

糖水原理

向容器中加入 $a$ 克水，$b$ 克糖得到糖的溶液，

它的质量分数就是 $\frac{a}{a+b}$.

再向容器中加入 $c$ 克糖

得到质量分数为 $\frac{a+c}{a+b+c}$ 的糖溶液

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$.

证明过程

其中，$a>b>0,c>0$，作差证明：

$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{ab+bc-ab-ac}{a(a+c)}=\frac{bc-ac}{a(a+c)}=\frac{c(b-a)}{a(a+c)}<0$

所以 $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$.