诱导公式

把任意角的三角函数，转化成“第一象限基本角”的三角函数的规则体系.

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定义

核心思想是：利用三角函数的奇偶性、周期性以及单位圆中各象限的符号规律，把任意角的三角函数化为第一象限锐角（基本角）的三角函数。这样做的目的，是将复杂角度的计算统一转化为对基本角的计算，从而大幅简化求值、化简与推导过程。

在实际应用中，诱导公式常用于：

• 将大角化为小角（如 $\sin 370^{\circ }$）
• 将负角化为正角（如 $\cos (-a)$）
• 将非锐角化为锐角（如 $\sin (\pi -a)$）
• 处理三角恒等式与化简
• 解决三角函数值的符号判断问题

诱导公式本质上是一套“角的归约规则”，是三角函数计算中最基础、最常用的工具之一。

公式

本节公式较多，可以使用口诀：“奇变偶不变，符号看象限”辅助记忆。

1.奇变偶不变：将$\sin (k\cdot \pi /2\pm \alpha )$或$\cos (k\cdot \pi /2\pm \alpha )$化为$\sin \alpha$或$\cos \alpha$，若 k 为奇数，则$\sin$变为$\cos$,$\cos$变为$\sin$，$\tan$先化为$\sin /\cos$，再分别用诱导公式（函数名改变），若 k 为偶数，则函数名不变

2.符号看象限：将 $\alpha$ 看成锐角，想象平面直角坐标系并判断$k\cdot \pi /2\pm \alpha$所在的象限，得到原三角函数在该象限的符号，若为负，则在$\sin \alpha$或$\cos \alpha$上加负号，反之则不加负号

• 奇偶性
  • $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$
  • $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
  • $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$

• 周期性
  • $\sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha$
  • $\cos (\alpha +2\pi )=\cos \alpha$
  • $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$

• 象限符号（$\pi -\alpha$ 型）
  • $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
  • $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
  • $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

• $\pi +\alpha$ 型
  • $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
  • $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
  • $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$

• $2\pi -\alpha$ 型
  • $\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$
  • $\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$
  • $\tan (2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

• 同角三角函数关系
  • $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
  • $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$
  • $\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }$
  • $\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }$

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