曲线运动

曲线运动指运动轨迹为曲线的运动，其核心特征是速度方向时刻变化，必有加速度。

基本特征

• 速度方向：沿轨迹切线方向
• 加速度作用：改变速度方向（法向加速度）和/或大小（切向加速度）
• 产生条件：合外力方向与速度方向不在同一直线上
• 运动分解：可分解为两个正交直线运动（常用水平-竖直分解）

分类体系

抛体运动

• 特点：只受重力作用，加速度恒定 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$
• 实例：投篮、炮弹、跳水
• 子类：
  • 平抛运动（初速度水平）
  • 斜抛运动（初速度倾斜）

圆周运动

• 特点：轨迹为圆，法向加速度 $a_n\ne 0$
• 实例：旋转木马、卫星绕行、车轮转动

一般曲线运动

• 特点：任意曲线轨迹，$a_n\ne 0,a_t\ne 0$
• 实例：过山车轨道、行星椭圆轨道

抛体运动

平抛运动

初速度水平，仅受重力：

• 运动方程：$\{\begin{array}{l}x=v_{0}t\\ y=\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$
• 轨迹方程：$y=\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$
• 瞬时速度：$v=\sqrt{v_0^2+(gt{)}^2}$
• 重要结论：
  • 飞行时间：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$（仅由高度$h$决定）
  • 水平射程：$s=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$
  • 速度方向角：$\tan \theta =\frac{gt}{v_0}$

斜抛运动

初速度$v_0$与水平成$\theta$角：

• 运动方程：$\{\begin{array}{l}x=v_0\cos \theta \cdot t\\ y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$
• 轨迹方程：$y=x\tan \theta -\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }{x}^2$
• 射高：$H=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g}$
• 射程$R=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$（当$\theta =45^{\circ }$时最大）

圆周运动详解

基本物理量

• 线速度 $v$：$v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r$
• 角速度 $\omega$：$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f$
• 周期 $T$：运动一周所需时间
• 频率 $f$：$f=\frac{1}{T}$
• 转速 $n$：$n=\frac{60}{T}$（单位：r/min）

加速度分析

• 向心加速度（法向）：$a_n=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$
  • 方向：指向圆心
  • 作用：改变速度方向
• 切向加速度：$a_t=\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega }{dt}$
  • 方向：沿切线方向
  • 作用：改变速度大小

向心力

• 本质：合外力在法向的分量
• 公式：$F_n=m\frac{v^2}{r}=m{\omega }^{2}r$
• **来源**：重力、弹力、摩擦力、电磁力等
• 临界条件：
  • 圆锥摆：${\omega }_{min}=\sqrt{\frac{g}{l\cos \theta }}$
  • 汽车过拱桥：最高点$v_{max}=\sqrt{gr}$
  • 离心轨道：最高点$v_{min}=\sqrt{gr}$

一般曲线运动

• 曲率半径：$\rho =\frac{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{3/2}}{|y^{″}|}$
• 加速度分解：$\overrightarrow{a}=a_t\overrightarrow{\tau }+a_n\overrightarrow{n}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau }+\frac{v^2}{\rho }\overrightarrow{n}$

解题方法

抛体运动

1. 建立坐标系（水平x轴，竖直y轴）
2. 分解初速度：$v_{0x}=v_0\cos \theta$, $v_{0y}=v_0\sin \theta$
3. 列运动方程：
4. x方向：$a_x=0$
5. y方向：$a_y=-g$
6. 求特定条件（最高点、落地点等）

圆周运动三关键

1. 确定圆心和半径
2. 受力分析求向心力
3. 列方程：$F_n=m\frac{v^2}{r}$

典型例题

平抛与斜面结合

问题：从倾角37°的斜面顶端以10m/s平抛物体，落至斜面，求飞行时间（g=10m/s²）
解：

• 位移关系：$\tan 37^{\circ }=\frac{y}{x}=\frac{0.5g{t}^2}{v_{0}t}$
• $0.75=\frac{5t}{10}⟹t=1.5\text{s}$

竖直圆周临界

问题：长0.5m轻杆一端固定小球，在竖直面做圆周运动，求最高点最小速度 解：

• 杆模型特点：最高点速度可为零
• $v_{min}=0$（杆提供支持力$F_N=mg$）

例题3：斜抛最值

问题：以20m/s、30°斜抛，求离地15m高时的速度

解：

1. 轨迹方程：$15=x\tan 30^{\circ }-\frac{10}{800{\cos }^{2}30^{\circ }}{x}^2$
   
2. 解得$x\approx 23.1\text{m}$
   
3. 速度分量：

• $v_x=10\sqrt{3}\text{m/s}$
  
• $v_y=\pm \sqrt{100-300}$（实际有两解）

易错警示

• 速度分解错误：沿绳/杆方向速度分量相等
• 临界条件混淆：
  • 绳模型：最高点$v_{min}=\sqrt{gr}$
  • 杆模型：最高点$v_{min}=0$
• 参考系错误：风中抛体需考虑牵连速度
• 矢量方向：向心加速度恒指向圆心

其他内容

• 科里奥利力：$F_c=2m\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{\omega }$（解释北半球河流右岸冲刷）
• 开普勒定律：
  • 轨道椭圆，太阳在焦点
  • 面积速度守恒：$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\omega$
• 相对运动：${\overrightarrow{v}}_{\text{绝对}}={\overrightarrow{v}}_{\text{相对}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{牵连}}$