|
|
| （未显示同一用户的1个中间版本） |
| 第1行： |
第1行： |
| == 基本概念 ==
| | 研究三维空间中点、线、面、体之间关系的几何学。 |
| | |
| === 空间几何体 ===
| |
| 由点、线、面构成的空间图形叫做'''空间几何体'''，常见类型包括：
| |
| * 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（如棱柱、棱锥、棱台）
| |
| * 旋转体：由平面图形绕某条直线旋转而成的几何体（如圆柱、圆锥、圆台、球）
| |
| | |
| == 多面体 ==
| |
| | |
| === 棱柱 ===
| |
| 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做'''棱柱'''。
| |
| | |
| 概念：
| |
| * 互相平行的两个面叫做棱柱的'''底面'''（上底、下底）；
| |
| * 其余各面叫做棱柱的'''侧面'''；
| |
| * 相邻侧面的公共边叫做棱柱的'''侧棱'''；
| |
| * 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的'''顶点'''；
| |
| 分类：
| |
| * 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
| |
| * 按侧棱与底面关系：
| |
| ** 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
| |
| ** 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。
| |
| 性质：
| |
| * 底面互相平行且全等；
| |
| * 侧棱互相平行且相等；
| |
| * 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；
| |
| | |
| === 棱锥 ===
| |
| 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做'''棱锥'''。
| |
| | |
| 概念：
| |
| * 多边形面叫做棱锥的'''底面'''；
| |
| * 其余各面叫做棱锥的'''侧面'''；
| |
| * 各侧面的公共顶点叫做棱锥的'''顶点'''；
| |
| * 顶点到底面的距离叫做棱锥的'''高'''；
| |
| 分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。
| |
| | |
| 性质：
| |
| * 底面是多边形；
| |
| * 侧面是有公共顶点的三角形。
| |
| | |
| === 棱台 ===
| |
| 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做'''棱台'''。
| |
| | |
| 相关概念：
| |
| * 原棱锥的底面和截面叫做棱台的'''下底'''和'''上底'''；
| |
| * 其余各面叫做棱台的'''侧面'''；
| |
| * 相邻侧面的公共边叫做棱台的'''侧棱'''；
| |
| 分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。
| |
| | |
| 性质：
| |
| * 上下底面互相平行且相似；
| |
| * 侧棱延长后交于一点。
| |
| | |
| == 旋转体 ==
| |
| | |
| === 圆柱 ===
| |
| 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆柱'''。
| |
| | |
| 概念：
| |
| * 旋转轴叫做圆柱的'''轴'''；
| |
| * 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的'''底面'''；
| |
| * 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的'''侧面'''；
| |
| * 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的'''母线'''。
| |
| | |
| 性质：
| |
| * 两个底面是全等的圆，且互相平行；
| |
| * 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
| |
| * 轴截面（过轴的截面）是矩形。
| |
| | |
| === 圆锥 ===
| |
| 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆锥'''。
| |
| | |
| 概念：
| |
| * 旋转轴叫做圆锥的'''轴'''；
| |
| * 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的'''底面'''；
| |
| * 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的'''侧面'''；
| |
| * 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的'''母线'''。
| |
| | |
| 性质：
| |
| * 底面是圆；
| |
| * 母线交于顶点，长度相等；
| |
| * 轴截面是等腰三角形。
| |
| | |
| === 球 ===
| |
| 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做'''球体'''，简称'''球'''。
| |
| | |
| 概念：
| |
| * 半圆的圆心叫做球的'''球心'''；
| |
| * 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的'''半径'''；
| |
| * 连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的'''直径'''
| |
| | |
| 性质：
| |
| * 球面上任意一点到球心的距离都等于半径
| |
| * 用平面截球，截面是圆（过球心的截面是大圆，否则是小圆）
| |
| | |
| == 空间几何体的表面积与体积 ==
| |
| | |
| === 表面积公式 ===
| |
| {| class="wikitable"
| |
| |+ 常见立体图形表面积公式
| |
| |-
| |
| ! 图形名称 !! 表面积公式 !! 符号说明
| |
| |-
| |
| | 正方体 || <math>S = 6a^2</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
| |
| |-
| |
| | 长方体 || <math>S = 2(ab + bc + ac)</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
| |
| |-
| |
| | 球体 || <math>S = 4\pi R^2</math> || <math>R</math> 为球的半径
| |
| |-
| |
| | 圆柱体 || <math>S = 2\pi r^2 + 2\pi rh</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 圆锥体 || <math>S = \pi r^2 + \pi rl</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>l</math> 为母线长（<math>l = \sqrt{r^2 + h^2}</math>）
| |
| |-
| |
| | 正三棱锥 || <math>S = S_{\text{底}} + 3 \times \frac{1}{2} a h'</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h'</math> 为斜高
| |
| |-
| |
| | 正四棱锥 || <math>S = a^2 + 2a \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 棱柱 || <math>S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
| |
| |-
| |
| | 棱台 || <math>S = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
| |
| |}
| |
| | |
| === 体积公式 ===
| |
| {| class="wikitable"
| |
| |+ 常见立体图形体积公式
| |
| |-
| |
| ! 图形名称 !! 体积公式 !! 符号说明
| |
| |-
| |
| | 正方体 || <math>V = a^3</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
| |
| |-
| |
| | 长方体 || <math>V = abc</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
| |
| |-
| |
| | 球体 || <math>V = \frac{4}{3}\pi R^3</math> || <math>R</math> 为球的半径
| |
| |-
| |
| | 圆柱体 || <math>V = \pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 圆锥体 || <math>V = \frac{1}{3}\pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 棱锥体 || <math>V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 棱柱体 || <math>V = S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
| |
| |-
| |
| | 棱台 || <math>V = \frac{1}{3}h(S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>h</math> 为高
| |
| |}
| |
| == 空间点、直线、平面的位置关系 ==
| |
| | |
| === 平面的基本性质 ===
| |
| # 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（<math>A \in l, B \in l, A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha</math>）；
| |
| | |
| # 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）；
| |
| | |
| # 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（<math>P \in \alpha, P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l, P \in l</math>）。
| |
| | |
| === 空间中直线与直线的位置关系 ===
| |
| 共面直线：
| |
| * 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
| |
| * 平行直线：在同一平面内，没有公共点；
| |
| 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。
| |
| | |
| === 空间中直线与平面的位置关系 ===
| |
| * 直线在平面内：有无数个公共点（<math>l \subset \alpha</math>）；
| |
| * 直线与平面相交：有且只有一个公共点（<math>l \cap \alpha = A</math>）；
| |
| * 直线与平面平行：没有公共点（<math>l \parallel \alpha</math>）。
| |
| | |
| === 空间中平面与平面的位置关系 ===
| |
| * 两个平面平行：没有公共点（<math>\alpha \parallel \beta</math>）；
| |
| * 两个平面相交：有一条公共直线（<math>\alpha \cap \beta = l</math>）。
| |
| | |
| [[分类:几何]] | | [[分类:几何]] |
