不等式：修订间差异

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第1行：

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

第21行：

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>~~{{color|red|~~基本不等式}}</big>.'''

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

第34行：

# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

~~由此可总结出：~~

'''由此可总结出'''：

* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

~~当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}~~

== 糖水原理 ==

第65行：

第64行：

== 一元二次不等式 ==

~~=== 与二次函数的关系 ===~~

{| class="wikitable"

|+

|+与二次函数的关系

!

!<math>\Delta > 0</math>

第132行：

第129行：

|}

~~= 例题 =~~

~~== 基本不等式 ==~~

~~=== 用一段长为 <math>36\,\text~~{~~m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===~~

~~# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？~~

~~# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？~~

~~解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.~~

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，

* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，

* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，

* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>

* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.

* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}~~</math>.~~

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.

* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，

* 所以，<math>xy \leq 81</math>.

* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.

* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}~~^2</math>.~~

[[分类:代数]]

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