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高中笔记
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不等式：修订间差异

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无编辑摘要
 
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第1行： 第1行：
我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
 
{{待补充|一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布}}
== 基本事实 ==
== 基本事实 ==


如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>
* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>


如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>
* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>


如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>
* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>


反过来也成立. 即
反过来也成立. 即


<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>
* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>


<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>
* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>


<math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>
* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>


所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
第21行： 第21行：
== 基本不等式 ==
== 基本不等式 ==


'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''
'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''


对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
第34行： 第34行：
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.


由此可总结出：
'''由此可总结出'''：
 
* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。
当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}


== 糖水原理 ==
== 糖水原理 ==
第65行： 第64行：


== 一元二次不等式 ==
== 一元二次不等式 ==
=== 与二次函数的关系 ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|+
|+与二次函数的关系
!
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta > 0</math>
第75行： 第72行：
|-
|-
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|150px|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|150px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|150px|此时与x轴没有交点]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
|-
|-
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
第95行： 第92行：
|}
|}


= 例题 =
== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
== 基本不等式 ==
{| class="wikitable"
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
!分布情况
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
!两个负根 即两根都小于 0
 
<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.
!两个正根 即两根都大于 0
 
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
1.
|-
 
!大致图象 <math>(a>0)</math>
* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
|<图象>
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
|<图象>
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
|<图象>
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
|-
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
!得出的结论
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.
|
 
|
2.
|
 
|}
* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
{| class="wikitable"
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
!分布情况
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
!两个负根 即两根都小于 0
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.
!两个正根 即两根都大于 0
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 (a<0)
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}


[[分类:数学]]
{{到题库|不等式}}
[[分类:代数]]
检索自“https://classnote.top/note/不等式”