集合：修订间差异
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| 第1行： | 第1行： | ||
把研究的对象集在一起构成<strong>集合</strong>. | |||
* 有有限个元素：有限集； | |||
* 有无限个元素：无限集. | |||
有无限个元素：无限集 | |||
=== 空集 === | === 空集 === | ||
不含元素的集合：<math>\emptyset</math> | |||
<strong>空集也是有限集</strong> | <strong>空集也是有限集</strong>. | ||
== 元素和集合的关系 == | == 元素和集合的关系 == | ||
属于：<math>\in</math> | |||
不属于：<math>\notin</math> | |||
== 集合中元素的三个特征 == | == 集合中元素的三个特征 == | ||
# 确定性：给定的集合，它的'''元素必须是确定的'''. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了. | |||
# 互异型：一个给定集合中的'''元素是互不相同的'''. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的. | |||
# 无序性：给定集合中的'''元素是不分先后的'''，没有顺序的. | |||
== 数集 == | == 数集 == | ||
[[文件:数集.png|200px|缩略图|数集之间的关系（Venn 图）]] | |||
数学里最常用的集合是各种数的集合，简称<strong>数集</strong>。 | 数学里最常用的集合是各种数的集合，简称<strong>数集</strong>。 | ||
| 第35行： | 第29行： | ||
=== 示例 === | === 示例 === | ||
# 所有正整数组成的集合称为<strong>正整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{N}^*</math>，<math>\mathbb{Z}^+</math> 或 <math>\mathbb{N}^+</math> | |||
# 所有负整数组成的集合称为<strong>负整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Z}_-</math> | |||
# 全体自然数组成的集合称为<strong>自然数集</strong>，记作 <math>\mathbb{N}</math> | |||
# 全体整数组成的集合称为<strong>整数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Z}</math> | |||
# 全体有理数组成的集合称为<strong>有理数集</strong>，记作 <math>\mathbb{Q}</math> | |||
# 全体实数组成的集合称为<strong>实数集</strong>，记作 <math>\mathbb{R}</math> | |||
== 集合的表示方法 == | |||
=== 列举法 === | |||
把集合中的所有元素'''一一列举出来'''，并用花括号“<math>\{ \}</math>”括起来表示集合的方法叫做'''列举法'''. | |||
注意事项： | |||
# 元素与元素之间必须用“<math>,</math>”隔开. | |||
# 集合中的元素可以是任何事物. | |||
# 集合中的元素不能重复. | |||
示例： | |||
一元二次方程 <math>3x^2 - 6x = 0</math> 的解集为：<math>\{0, 2\}</math>. | |||
== | === 描述法 === | ||
一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 <math>\{x \in A | P(x)\}</math>，这种表示方法称为'''描述法'''. | |||
注意事项： | 注意事项： | ||
# 写清楚集合中元素的符号. 如数或点等. | |||
# 不能出现未被说明的字母. | |||
示例： | |||
奇数集：<math>\{x | x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\}</math>. | |||
偶数集：<math>\{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\}</math>. | |||
== 子集 == | |||
[[文件:真子集.jpg|120px|缩略图|描述 A 真包含于 B 的 Venn 图]] | |||
'''如果集合 <math>A</math> 的每一个元素都是集合 <math>B</math> 的元素，就称 <math>A</math> 是 <math>B</math> 的一个子集'''. | |||
记作 <math>A \subseteq B</math>（读作：'''A 包含于 B'''）或 <math>B \supseteq A</math>（'''B 包含 A'''）. | |||
如果 <math>A \subseteq B</math> 并且 <math>B \subseteq A</math>，就说这两个集合'''相等'''，记作：<math>A = B</math>. | |||
如果 <math>A \subseteq B</math> 但是 <math>A \neq B</math>，就说 A 是 B 的'''真子集'''，记作：<math>A \subsetneqq B</math>，读作：'''A 真包含于 B'''. 例如，<math>(1, 6) \subsetneqq [1, 6]</math>. | |||
包含关系还有传递性： | |||
# 若 <math>A \subseteq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>； | |||
# 若 <math>A \subsetneqq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>； | |||
等等. | |||
== | === 有限集的子集个数的确定方法 === | ||
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>2^n</math> 个子集； | |||
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个真子集； | |||
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个非空子集； | |||
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-2)</math> 个非空真子集. | |||
== 补集 == | |||
<math>\complement_U A</math> | |||
设<math>U</math>为全集（包含研究问题中涉及的所有元素的集合），集合<math>A</math>是<math>U</math>的子集，则由<math>U</math>中所有不属于<math>A</math>的元素组成的集合，称为集合<math>A</math>相对于全集<math>U</math>的'''补集'''，记作<math>\complement_U A</math>（读作“<math>A</math>在<math>U</math>中的补集”）。 | |||
'''符号表示'''：<math>\complement_U A = \{x | x \in U \text{且} x \notin A\}</math> | |||
'''性质'''： | |||
* <math>A \cup \complement_U A = U</math>（集合<math>A</math>与其补集的并集为全集） | |||
* <math>A \cap \complement_U A = \emptyset</math>（集合<math>A</math>与其补集的交集为空集） | |||
* <math>\complement_U (\complement_U A) = A</math>（补集的补集是集合本身） | |||
'''示例'''： | |||
设全集<math>U = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math>，集合<math>A = \{1, 3, 5\}</math>，则<math>\complement_U A = \{2, 4\}</math>。 | |||
[[category: | [[category:代数]] | ||