诱导公式：修订间差异

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第1行：

把任意角的三角函数，转化成“第一象限基本角”的三角函数的规则体系.

== 定义 ==

'''核心思想'''是：利用三角函数的奇偶性、周期性以及单位圆中各象限的符号规律，把任意角的三角函数化为第一象限锐角（基本角）的三角函数。这样做的目的，是将复杂角度的计算统一转化为对基本角的计算，从而大幅简化求值、化简与推导过程。

在实际应用中，诱导公式常用于：

* 将大角化为小角（如 <math>\sin 370^\circ</math>）

* 将负角化为正角（如 <math>\cos(-a)</math>）

* 将非锐角化为锐角（如 <math>\sin(\pi - a)</math>）

* 处理三角恒等式与化简

* 解决三角函数值的符号判断问题

诱导公式本质上是一套“'''角的归约规则'''”，是三角函数计算中最基础、最常用的工具之一。

== 公式 ==

本节公式较多，可以使用口诀：“奇变偶不变，符号看象限”辅助记忆。

1.奇变偶不变：将<math>\sin\bigl(k\cdot\pi/2\pm\alpha\bigr)</math>或<math>\cos\bigl(k\cdot\pi/2\pm\alpha\bigr)</math>化为<math>\sin \alpha</math>或<math>\cos \alpha</math>，若 k 为奇数，则<math>\sin</math>变为<math>\cos</math>,<math>\cos</math>变为<math>\sin</math>，<math>\tan</math>先化为<math>\sin/\cos</math>，再分别用诱导公式（函数名改变），若 k 为偶数，则函数名不变

2.符号看象限：将 <math>\alpha</math> 看成锐角，想象平面直角坐标系并判断<math>k\cdot\pi/2\pm\alpha</math>所在的象限，得到原三角函数在该象限的符号，若为负，则在<math>\sin \alpha</math>或<math>\cos \alpha</math>上加负号，反之则不加负号

* 奇偶性

** <math>\sin(-a)=-\sin a</math>

** <math>\sin(-\alpha)=-\sin \alpha</math>

** <math>\cos(-a)=\cos a</math>

** <math>\cos(-\alpha)=\cos \alpha</math>

** <math>\tan(-a)=-\tan a</math>

** <math>\tan(-\alpha)=-\tan \alpha</math>

* 周期性

** <math>\sin(a+2\pi)=\sin a</math>

** <math>\sin(\alpha+2\pi)=\sin \alpha</math>

** <math>\cos(a+2\pi)=\cos a</math>

** <math>\cos(\alpha+2\pi)=\cos \alpha</math>

** <math>\tan(a+\pi)=\tan a</math>

** <math>\tan(\alpha+\pi)=\tan \alpha</math>

* 象限符号（<math>\pi - a</math> 型）

* 象限符号（<math>\pi - \alpha</math> 型）

** <math>\sin(\pi - a)=\sin a</math>

** <math>\sin(\pi - \alpha)=\sin \alpha</math>

** <math>\cos(\pi - a)=-\cos a</math>

** <math>\cos(\pi - \alpha)=-\cos \alpha</math>

** <math>\tan(\pi - a)=-\tan a</math>

** <math>\tan(\pi - \alpha)=-\tan \alpha</math>

* <math>\pi + a</math> 型

* <math>\pi + \alpha</math> 型

** <math>\sin(\pi + a)=-\sin a</math>

** <math>\sin(\pi + \alpha)=-\sin \alpha</math>

** <math>\cos(\pi + a)=-\cos a</math>

** <math>\cos(\pi + \alpha)=-\cos \alpha</math>

** <math>\tan(\pi + a)=\tan a</math>

** <math>\tan(\pi + \alpha)=\tan \alpha</math>

* <math>2\pi - a</math> 型

* <math>2\pi - \alpha</math> 型

** <math>\sin(2\pi - a)=-\sin a</math>

** <math>\sin(2\pi - \alpha)=-\sin \alpha</math>

** <math>\cos(2\pi - a)=\cos a</math>

** <math>\cos(2\pi - \alpha)=\cos \alpha</math>

** <math>\tan(2\pi - a)=-\tan a</math>

** <math>\tan(2\pi - \alpha)=-\tan \alpha</math>

* 同角三角函数关系

** <math>\tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}</math>

** <math>\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}</math>

** <math>\cot a=\dfrac{\cos a}{\sin a}</math>

** <math>\cot \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}</math>

** <math>\sec a=\dfrac1{\cos a}</math>

** <math>\sec \alpha=\dfrac1{\cos \alpha}</math>

** <math>\csc a=\dfrac1{\sin a}</math>

** <math>\csc \alpha=\dfrac1{\sin \alpha}</math>

[[分类:三角函数]]

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