不等式：修订间差异

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第1行：

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

第21行：

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>~~{{color|red|~~基本不等式}}</big>.'''

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

第34行：

# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

~~由此可总结出：~~

'''由此可总结出'''：

* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

~~当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}~~

== 糖水原理 ==

第65行：

第64行：

== 一元二次不等式 ==

{| class="wikitable"

~~=== 与二次函数的关系 ===~~

|+与二次函数的关系

{| class="wikitable ~~mw-collapsible mw-collapsed~~"

|+~~二次函数与一元二次方程、不等式解的对应关系~~

!

!<math>\Delta > 0</math>

第74行：

第71行：

!<math>\Delta < 0</math>

|-

|<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象

!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象

|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|此时与x轴有两个交点]]

|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]

|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]

|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]

|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|此时与x轴没有交点]]

|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]

|-

|<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根

!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根

|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>

|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>

|没有实数根

|-

|<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集

!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集

|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>

|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>

|<math>\mathbb{R}</math>

|-

|<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集

!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集

|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>

|<math>\emptyset</math>

第95行：

第92行：

|}

= 例题 =

== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==

~~== 基本不等式~~ ==

{| class="wikitable"

~~=== 用一段长为 <math>36\,\text~~{~~m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.==~~=

|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）

~~# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？~~

!分布情况

~~# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？~~

!两个负根即两根都小于 0

~~解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为~~ <math>~~x\,\text{m}~~, ~~y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为~~ <~~math>2(x + y~~)~~\,\text{m}~~</math>.

!两个正根即两根都大于 0

!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0

1.

|-

!大致图象 <math>(a>0)</math>

* 由已知，得 <math>~~xy = 100~~</math>，

|<图象>

* 根据基本不等式 <~~math~~>~~\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}~~<~~/math~~>，

|<图象>

* 可得 <~~math~~>~~x + y \geq 2\sqrt{xy~~} ~~= 2\sqrt~~{~~100}~~ = ~~20</math>，~~

|<图象>

* 所以，<math>2(x + ~~y) \geq 40</math>~~

|-

* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.

!得出的结论

* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

|

2.

|

|}

* 由已知，得 <~~math>2(x + y~~) ~~= 40~~<~~/math~~>~~，矩形菜园的面积为~~ <~~math~~>~~xy\,\text{m}^2~~<~~/math~~>.

{| class="wikitable"

* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，

|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）

* 所以，<math>xy \leq 81</math>.

!分布情况

* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.

!两个负根即两根都小于 0

* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}~~^2</math>.~~

!两个正根即两根都大于 0

!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0

|-

!大致图象 (a<0)

|<图象>

|-

!得出的结论

|

|}

[[分类:数学]]

[[分类:代数]]

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