不等式：修订间差异

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2026年2月1日 (日) 17:15的最新版本

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

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原因：一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布。

基本事实

如果 $a - b > 0$ , 那么 $a > b$

如果 $a - b = 0$ , 那么 $a = b$

如果 $a - b < 0$ , 那么 $a < b$

反过来也成立. 即

$a > b \Leftrightarrow a - b > 0$

$a = b \Leftrightarrow a - b = 0$

$a < b \Leftrightarrow a - b < 0$

所以，如要证明 $x \leq a$ , 只需证明 $x - a \leq 0$ 即可.

基本不等式

把不等式 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0, b > 0)$ 称为基本不等式.

对任意 $a, b \in R, a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.

对任意正数 $a, b, \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时等号成立.

一般地，对于正数 $a, b$ ，我们把 $\frac{a + b}{2}$ 称为 $a, b$ 的算术平均数， $\sqrt{a b}$ 称为 $a, b$ 的几何平均数.

拓展结论

已知 $x, y$ 都为正数，如果 $x y$ 等于定值 $P$ ，那么当且仅当 $x = y$ 时，和 $x + y$ 有最小值 $2 \sqrt{p}$ ;
如果 $x + y$ 是定值 $s$ ，那么当且仅当 $x = y$ 时，积 $x y$ 有最大值 $\frac{s^{2}}{4}$ .

由此可总结出：

对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

糖水原理

$a$ 克糖水中有 $b$ 克糖，

它的质量分数就是 $\frac{b}{a}$ .

再向容器中加入 $c$ 克糖，

得到质量分数为 $\frac{b + c}{a + c}$ 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

$\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ .

证明过程

其中， $a > b > 0, c > 0$ .

作差证明：

$\frac{b}{a} - \frac{b + c}{a + c} = \frac{a b + b c - a b - a c}{a (a + c)} = \frac{b c - a c}{a (a + c)} = \frac{c (b - a)}{a (a + c)} < 0$

所以 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ .

一元二次不等式

与二次函数的关系
	$Δ > 0$	$Δ = 0$	$Δ < 0$
$y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象	此时与x轴有两个交点	此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）	此时与x轴没有交点
$a x^{2} + b x + c = 0 (a > 0)$ 的根	有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$	有两个相等的实数根 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$	没有实数根
$a x^{2} + b x + c > 0 (a > 0)$ 的解集	${x ∣ x < x_{1} 或 x > x_{2}}$	${x ∣ x \neq - \frac{b}{2 a}}$	$ℝ$
$a x^{2} + b x + c < 0 (a > 0)$ 的解集	${x ∣ x_{1} < x < x_{2}}$	$\emptyset$	$\emptyset$

一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法）

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
分布情况	两个负根即两根都小于 0 $(x_{1} < 0, x_{2} < 0)$	两个正根即两根都大于 0	一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 $(a > 0)$	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
分布情况	两个负根即两根都小于 0	两个正根即两根都大于 0	一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 (a<0)	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

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关于不等式的相关习题，已收录在姊妹项目高中题库中。

请参阅：不等式

@@ 第1行： / 第1行： @@
-我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.
+我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
+{{待补充|一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布}}
 == 基本事实 ==
-如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>
+* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>
-如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>
+* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>
-如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>
+* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>
 反过来也成立. 即
-<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>
+* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>
-<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>
+* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>
-<math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>
+* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>
 所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
-= 重要不等式 =
+== 基本不等式 ==
+'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''
+对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
+对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.
+一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.
-== 基本不等式 ==
+=== 拓展结论 ===
-可由 <math>\sqrt{ab} < \frac{a + b}{2}, \; (a \neq b)</math> 得到.
+# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
+# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.
-<math>a^2 + b^2 > 2ab \;(a \neq b)</math>
+'''由此可总结出'''：
+* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。
 == 糖水原理 ==
-向容器中加入 <math>a</math> 克水，<math>b</math> 克糖得到糖的溶液，
+<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，
-它的质量分数就是 <math>\frac {a}{a + b}</math>.
+它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.
-再向容器中加入 <math>c</math> 克糖
+再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，
-得到质量分数为 <math>\frac{a+c}{a+b+c}</math> 的糖溶液
+得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.
-加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.
+加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.
 即
-<math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.
 === 证明过程 ===
-其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>，作差证明：
+其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.
+作差证明：
+<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>
+所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.
-<math>\frac {a}{b} - \frac {a + c}{b + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>
+== 一元二次不等式 ==
+{| class="wikitable"
+|+与二次函数的关系
+!
+!<math>\Delta > 0</math>
+!<math>\Delta = 0</math>
+!<math>\Delta < 0</math>
+|-
+!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
+|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
+|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
+|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
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+|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
+|没有实数根
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
+|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
+|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
+|<math>\mathbb{R}</math>
+|-
+!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
+|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
+|<math>\emptyset</math>
+|<math>\emptyset</math>
+|}
-所以 <math>\frac {a}{b} < \frac {a + c}{b + c}</math>.
+== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
+{| class="wikitable"
+|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
+!分布情况
+!两个负根 即两根都小于 0
+<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
+!两个正根 即两根都大于 0
+!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
+|-
+!大致图象 <math>(a>0)</math>
+|<图象>
+|<图象>
+|<图象>
+|-
+!得出的结论
+|
+|
+|
+|}
+{| class="wikitable"
+|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
+!分布情况
+!两个负根 即两根都小于 0
+!两个正根 即两根都大于 0
+!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
+|-
+!大致图象 (a<0)
+|<图象>
+|<图象>
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+|-
+!得出的结论
+|
+|
+|
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-[[分类:数学]]
+{{到题库|不等式}}
+[[分类:代数]]