概率：修订间差异

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概述

概率用于描述某个事件发生的可能程度，是研究随机现象的基础工具.

在高中阶段，概率的核心思想是：在不确定中寻找规律.

随机事件

随机事件是指在相同条件下重复试验时，结果具有不确定性的事件.

例如：掷骰子、摸球、抽签.
事件通常用大写字母表示，如 $A$ 、 $B$ 、 $C$ .
事件的发生与否具有随机性，但长期重复会呈现稳定的频率.

古典概型

当试验的所有基本结果等可能发生时，可以使用古典概型计算概率.

概率公式： $P (A) = \frac{事件 A 的有利结果数}{所有可能结果数}$ .
常见场景：掷骰子、扑克牌、摸球问题.
特点：要求“等可能”，否则不能使用.

条件概率

在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率.

定义： $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .
读作“在 $B$ 已发生的条件下， $A$ 发生的概率”.
条件概率常用于分步事件、筛选问题、路径问题等.

独立性

如果事件 $A$ 的发生不影响事件 $B$ 的发生，则称 $A$ 与 $B$ 独立.

数学表达： $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .
独立性不是“互斥”，两者概念不同：
- 互斥：不能同时发生.
- 独立：互不影响.

全概率公式

当事件 $A$ 可以通过若干互不相容的情形分解时，可以用全概率公式计算.

若 ${B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}}$ 为完备事件组，则：

$P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A | B_{i})$ .

常用于分情况、路径、分类讨论的问题.

贝叶斯公式

用于反向推断，即根据结果推测原因.

公式：

$P (B_{i} | A) = \frac{P (B_{i}) P (A | B_{i})}{\sum_{k = 1}^{n} P (B_{k}) P (A | B_{k})}$ .

常见于医学检测、筛查、分类判断等问题.

概率的基本性质

$0 \leq P (A) \leq 1$ .
必然事件概率为 $1$ ，不可能事件概率为 $0$ .
若 A、B 互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .
一般情况下： $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

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+{{待补充}}
+== 概述 ==
+概率用于描述某个事件发生的可能程度，是研究随机现象的基础工具.
+在高中阶段，概率的核心思想是：'''在不确定中寻找规律'''.
 == 随机事件 ==
-例如：掷骰子、摸球、抽签.
+随机事件是指在相同条件下重复试验时，结果具有不确定性的事件.
+* 例如：掷骰子、摸球、抽签.
+* 事件通常用大写字母表示，如 <math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>.
+* 事件的发生与否具有随机性，但长期重复会呈现稳定的频率.
 == 古典概型 ==
-所有结果等可能时：<math>P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}</math>.
+当试验的所有基本结果等可能发生时，可以使用古典概型计算概率.
+* 概率公式：<math>P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}</math>.
+* 常见场景：掷骰子、扑克牌、摸球问题.
+* 特点：要求“等可能”，否则不能使用.
 == 条件概率 ==
-在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率：<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.
+在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率.
-== 全概率公式、贝叶斯公式 ==
+* 定义：<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.
-** 用于处理复杂事件的概率计算.
+* 读作“在 <math>B</math> 已发生的条件下，<math>A</math> 发生的概率”.
+* 条件概率常用于分步事件、筛选问题、路径问题等.
+== 独立性 ==
+如果事件 <math>A</math> 的发生不影响事件 <math>B</math> 的发生，则称 <math>A</math> 与 <math>B</math> 独立.
+* 数学表达：<math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>.
+* 独立性不是“互斥”，两者概念不同：
+** 互斥：不能同时发生.
+** 独立：互不影响.
+== 全概率公式 ==
+当事件 <math>A</math> 可以通过若干互不相容的情形分解时，可以用全概率公式计算.
+* 若 <math>\{B_1,B_2,\ldots,B_n\}</math> 为完备事件组，则：
+<math>P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)</math>.
+常用于分情况、路径、分类讨论的问题.
+== 贝叶斯公式 ==
+用于'''反向推断'''，即根据结果推测原因.
+* 公式：
+<math>P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{k=1}^n P(B_k)P(A|B_k)}</math>.
+常见于医学检测、筛查、分类判断等问题.
+== 概率的基本性质 ==
+* <math>0 \le P(A) \le 1</math>.
+* 必然事件概率为 <math>1</math>，不可能事件概率为 <math>0</math>.
+* 若 A、B 互斥，则 <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>.
+* 一般情况下：<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>.
 [[分类:概率与统计]]