不等式

我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题.

基本事实

如果 $a-b>0$, 那么 $a>b$

如果 $a-b=0$, 那么 $a=b$

如果 $a-b<0$, 那么 $a<b$

反过来也成立. 即

$a>b\iff a-b>0$

$a=b\iff a-b=0$

$a<b\iff a-b<0$

所以，如要证明 $x\le a$, 只需证明 $x-a\le 0$ 即可.

基本不等式

把不等式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a>0,b>0)$ 称为基本不等式.

对任意 $a,b\in R,a^2+b^2\ge 2ab$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立.

对任意正数 $a,b,\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$，当且仅当 $a=b$ 时等号成立.

一般地，对于正数 $a,b$，我们把 $\frac{a+b}{2}$ 称为 $a,b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 称为 $a,b$ 的几何平均数.

拓展结论

1. 已知 $x,y$ 都为正数，如果 $xy$ 等于定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，和 $x+y$有最小值 $2\sqrt{p}$;
2. 如果 $x+y$ 是定值 $s$，那么当且仅当 $x=y$ 时，积 $xy$ 有最大值 $\frac{s^2}{4}$.

由此可总结出：

当两个正数变量的积或和为定值时，他们的和有最小值或积有最大值

糖水原理

$a$ 克糖水中有 $b$ 克糖，

它的质量分数就是 $\frac{b}{a}$.

再向容器中加入 $c$ 克糖，

得到质量分数为 $\frac{b+c}{a+c}$ 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即后者质量分数更大.

即

$\frac{b}{a}<\frac{b+c}{a+c}$.

证明过程

其中，$a>b>0,c>0$.

作差证明：

$\frac{b}{a}-\frac{b+c}{a+c}=\frac{ab+bc-ab-ac}{a(a+c)}=\frac{bc-ac}{a(a+c)}=\frac{c(b-a)}{a(a+c)}<0$

所以 $\frac{b}{a}<\frac{b+c}{a+c}$.

一元二次不等式

与二次函数的关系

	$\mathrm{\Delta }>0$	$\mathrm{\Delta }=0$	$\mathrm{\Delta }<0$
$y=a{x}^2+bx+c(a>0)$ 的图象	此时与x轴有两个交点	此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）	此时与x轴没有交点
$a{x}^2+bx+c=0(a>0)$ 的根	有两个不相等的实数根 $x_1,x_2(x_1<x_2)$	有两个相等的实数根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$	没有实数根
$a{x}^2+bx+c>0(a>0)$ 的解集	$\{x\mid x<x_1\text{ 或 }x>x_2\}$	$\{x\mid x\ne -\frac{b}{2a}\}$	$\mathbb{ℝ}$
$a{x}^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集	$\{x\mid x_1<x<x_2\}$	$\mathrm{\varnothing }$	$\mathrm{\varnothing }$

一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法）

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）

分布情况	两个负根 即两根都小于 0 $(x_1<0,x_2<0)$	两个正根 即两根都大于 0	一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 $(a>0)$	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）

分布情况	两个负根 即两根都小于 0	两个正根 即两根都大于 0	一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
大致图象 (a<0)	<图象>	<图象>	<图象>
得出的结论

基本不等式

用一段长为 $36\text{m}$ 的篱笆围成一个矩形菜园.

1. 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
2. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x\text{m},y\text{m}$，则篱笆的长度为 $2(x+y)\text{m}$.

1.

• 由已知，得 $xy=100$，
• 根据基本不等式 $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$，
• 可得 $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{100}=20$，
• 所以，$2(x+y)\ge 40$
• 当且仅当 $x=y=10$ 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园是边长为 $10\text{m}$ 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 $40\text{m}$.

2.

• 由已知，得 $2(x+y)=40$，矩形菜园的面积为 $xy{\text{m}}^2$.
• 根据基本不等式可得 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}=\frac{18}{2}=9$，
• 所以，$xy\le 81$.
• 当且仅当 $x=y=9$ 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园时边长为 $9\text{m}$ 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 $81{\text{m}}^2$.