数列：修订间差异

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2025年8月27日 (三) 11:45的最新版本

数列是按照一定次序排列的一列数.

概念

数列中每一个数称作这个数列的一个项，第一项称作首项（或第 $1$ 项），最后一项称作末项.
组成数列的数的个数称作项数，项数有限的数列称作有穷数列，项数无穷的数列称作无穷数列．无穷数列没有末项.
- 未指明项数有限的数列，均默认为无穷数列.

表示方法

数列从首项起，每一项的序号均有正整数对应，从 $1$ 开始.

所以数列的一般形式为： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$

简记为 ${a_{n}}$ ，其中 $a_{n}$ 表示数列的第 $n$ 项，称为数列的通项.

通项公式

如果数列 ${a_{n}}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 与它的序号 $n$ 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就称为数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

从函数观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式.

数列的通项公式可能不唯一．如数列 $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ 就存在多个通项公式，其中的两个为：

$a_{n} = (- 1)^{n}$ .
$a_{n} = \cos n π$ .

可以看到两个公式并不相同，它们只是在所有正整数点都正好相等而已．

与集合的区别

数列具有有序性，而集合具有无序性.
- $1, 2, 3$ 与 $2, 3, 1$ 不是同一数列，但 ${1, 2, 3}$ 与 ${2, 3, 1}$ 是同一集合.
数列具有可重性，而集合具有互异性.
- 允许 $1, 2, 1$ 这样的数列，但不允许 ${1, 2, 1}$ 这样的集合.
${a_{n}}$ 中的大括号与集合中的大括号没有任何联系.

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 '''数列'''是按照一定次序排列的一列数.
 == 概念 ==
-* '''数列'''中每一个数称作这个数列的一个'''项'''，第一项称作'''首项'''，最后一项称作'''末项'''.
+* '''数列'''中每一个数称作这个数列的一个'''项'''，第一项称作'''首项'''（或第 <math>1</math> 项），最后一项称作'''末项'''.
 * 组成数列的数的个数称作项数，项数有限的数列称作'''有穷数列'''，项数无穷的数列称作'''无穷数列'''．无穷数列'''没有末项'''.
 ** 未指明项数有限的数列，均默认为无穷数列.
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 所以数列的一般形式为：
-<math>a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_n , ...</math>
+<math>a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_n , \ldots</math>
 简记为 <math>\{ a_n \}</math>，其中 <math>a_n</math> 表示数列的第 <math>n</math> 项，称为数列的'''通项'''.
+=== 通项公式 ===
 如果数列 <math>\{ a_n \}</math> 的第 <math>n</math> 项 <math>a_n</math> 与它的序号 <math>n</math> 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就称为数列 <math>\{ a_n \}</math> 的'''通项公式'''.
 从函数观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式.
+数列的通项公式可能不唯一．如数列 <math>-1, 1, -1, 1, \ldots</math> 就存在多个通项公式，其中的两个为：
+* <math>a_n = (-1)^n</math>.
+* <math>a_n = \cos n \pi</math>.
+可以看到两个公式并不相同，它们只是在所有正整数点都正好相等而已．
 === 与集合的区别 ===
 * 数列具有'''有序性'''，而集合具有'''无序性'''.
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 ** 允许 <math>1, 2, 1</math> 这样的数列，但不允许 <math>\{1, 2, 1\}</math> 这样的集合.
 * <math>\{a_n\}</math> 中的大括号与集合中的大括号没有任何联系.
+[[分类:代数]]

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概念

表示方法

通项公式

与集合的区别

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