集合

把研究的对象集在一起构成集合.

• 有有限个元素：有限集；
• 有无限个元素：无限集.

空集

不含元素的集合：$\mathrm{\varnothing }$

空集也是有限集.

元素和集合的关系

属于：$\in$

不属于：$\notin$

集合中元素的三个特征

1. 确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了.
2. 互异型：一个给定集合中的元素是互不相同的. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
3. 无序性：给定集合中的元素是不分先后的，没有顺序的.

数集

数集之间的关系（Venn 图）

数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集。

示例

1. 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 ${\mathbb{\mathbb{N}}}^{*}$，${\mathbb{\mathbb{Z}}}^{+}$ 或 ${\mathbb{\mathbb{N}}}^{+}$
2. 所有负整数组成的集合称为负整数集，记作 ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{-}$
3. 全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 $\mathbb{\mathbb{N}}$
4. 全体整数组成的集合称为整数集，记作 $\mathbb{\mathbb{Z}}$
5. 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 $\mathbb{\mathbb{Q}}$
6. 全体实数组成的集合称为实数集，记作 $\mathbb{ℝ}$

列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“$\{\}$”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意事项：

1. 元素与元素之间必须用“$,$”隔开.
2. 集合中的元素可以是任何事物.
3. 集合中的元素不能重复.

示例：

一元二次方程 $3x^2-6x=0$ 的解集为：$\{0,2\}$.

描述法

一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 $\{x\in A|P(x)\}$，这种表示方法称为描述法.

注意事项：

1. 写清楚集合中元素的符号. 如数或点等.
2. 不能出现未被说明的字母.

示例：

奇数集：$\{x|x=2n+1,n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$.

偶数集：$\{x|x=2n,n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$.

子集

描述 A 真包含于 B 的 Venn 图

如果集合 $A$ 的每一个元素都是集合 $B$ 的元素，就称 $A$ 是 $B$ 的一个子集.

记作 $A\subseteq B$（读作：A 包含于 B）或 $B\supseteq A$（B 包含 A）.

如果 $A\subseteq B$ 并且 $B\subseteq A$，就说这两个集合相等，记作：$A=B$.

如果 $A\subseteq B$ 但是 $A\ne B$，就说 A 是 B 的真子集，记作：$A⫋B$，读作：A 真包含于 B. 例如，$(1,6)⫋[1,6]$.

包含关系还有传递性：

1. 若 $A\subseteq B$，$B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$；
2. 若 $A⫋B$，$B\subseteq C$，则 $A\subseteq C$；

等等.

有限集的子集个数的确定方法

1. 含有 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集；
2. 含有 $n$ 个元素的集合有 $(2^n-1)$ 个真子集；
3. 含有 $n$ 个元素的集合有 $(2^n-1)$ 个非空子集；
4. 含有 $n$ 个元素的集合有 $(2^n-2)$ 个非空真子集.

补集

${\complement }_{U}A$

设$U$为全集（包含研究问题中涉及的所有元素的集合），集合$A$是$U$的子集，则由$U$中所有不属于$A$的元素组成的集合，称为集合$A$相对于全集$U$的补集，记作${\complement }_{U}A$（读作“$A$在$U$中的补集”）。

符号表示：${\complement }_{U}A=\{x|x\in U\text{且}x\notin A\}$

性质：

• $A\cup {\complement }_{U}A=U$（集合$A$与其补集的并集为全集）
• $A\cap {\complement }_{U}A=\mathrm{\varnothing }$（集合$A$与其补集的交集为空集）
• ${\complement }_U({\complement }_{U}A)=A$（补集的补集是集合本身）

示例： 设全集$U=\{1,2,3,4,5\}$，集合$A=\{1,3,5\}$，则${\complement }_{U}A=\{2,4\}$。