弧度制

1 弧度角

长度等于半径长的弧所对圆心角叫做 1 弧度的角。

定义

弧度的符号是 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$，在实际使用中，弧度单位“$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$”可以省略不写。例如，1 弧度可记作$1$，2 弧度可记作$2$。

弧度与角度的换算

基本换算关系

整个圆周的弧长为$2\pi r$（$r$为半径），对应的圆心角为$360^{\circ }$，而该圆心角的弧度数为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，因此：

$360^{\circ }=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

由此可推出：

$180^{\circ }=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

常用换算公式

$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\approx 0.01745\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

$1\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx 57.30^{\circ }=57^{\circ }18^{\prime }$

弧度制下的弧长与扇形面积公式

弧长公式

设圆的半径为 $r$，圆心角 $\alpha$（单位：弧度）所对的弧长为 $l$，则： $l=|\alpha |\cdot r$

（注：公式中 $\alpha$ 取绝对值，因为弧长为非负数）

扇形面积公式

设圆的半径为 $r$ ，圆心角为 $\alpha$（单位：弧度）的扇形面积为 $S$，则： $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha |\cdot r^2$

（其中 $l$ 为扇形的弧长）