立体几何：修订间差异

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2025年7月11日 (五) 01:59的最新版本

基本概念

空间几何体

由点、线、面构成的空间图形叫做空间几何体，常见类型包括：

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（如棱柱、棱锥、棱台）
旋转体：由平面图形绕某条直线旋转而成的几何体（如圆柱、圆锥、圆台、球）

多面体

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

概念：

互相平行的两个面叫做棱柱的底面（上底、下底）；
其余各面叫做棱柱的侧面；
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点；

分类：

按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
按侧棱与底面关系：
- 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
- 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。

性质：

底面互相平行且全等；
侧棱互相平行且相等；
侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥。

概念：

多边形面叫做棱锥的底面；
其余各面叫做棱锥的侧面；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；
顶点到底面的距离叫做棱锥的高；

分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。

性质：

底面是多边形；
侧面是有公共顶点的三角形。

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

旋转体

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。

概念：

旋转轴叫做圆柱的轴；
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的母线。

性质：

两个底面是全等的圆，且互相平行；
母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
轴截面（过轴的截面）是矩形。

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

概念：

旋转轴叫做圆锥的轴；
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线。

性质：

底面是圆；
母线交于顶点，长度相等；
轴截面是等腰三角形。

球

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。

概念：

半圆的圆心叫做球的球心；
连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径

性质：

球面上任意一点到球心的距离都等于半径
用平面截球，截面是圆（过球心的截面是大圆，否则是小圆）

空间几何体的表面积与体积

表面积公式

常见立体图形表面积公式
图形名称	表面积公式	符号说明
正方体	$S = 6 a^{2}$	$a$ 为正方体棱长
长方体	$S = 2 (a b + b c + a c)$	$a, b, c$ 分别为长方体的长、宽、高
球体	$S = 4 π R^{2}$	$R$ 为球的半径
圆柱体	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$	$r$ 为底面半径， $h$ 为高
圆锥体	$S = π r^{2} + π r l$	$r$ 为底面半径， $l$ 为母线长（ $l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ ）
正三棱锥	$S = S_{底} + 3 \times \frac{1}{2} a h^{'}$	$a$ 为底面边长， $h^{'}$ 为斜高
正四棱锥	$S = a^{2} + 2 a \sqrt{h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}}$	$a$ 为底面边长， $h$ 为高
棱柱	$S = 2 S_{底} + S_{侧}$	$S_{底}$ 为底面积， $S_{侧}$ 为侧面积
棱台	$S = S_{上} + S_{下} + S_{侧}$	$S_{上}, S_{下}$ 为上下底面积， $S_{侧}$ 为侧面积

体积公式

常见立体图形体积公式
图形名称	体积公式	符号说明
正方体	$V = a^{3}$	$a$ 为正方体棱长
长方体	$V = a b c$	$a, b, c$ 分别为长方体的长、宽、高
球体	$V = \frac{4}{3} π R^{3}$	$R$ 为球的半径
圆柱体	$V = π r^{2} h$	$r$ 为底面半径， $h$ 为高
圆锥体	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$	$r$ 为底面半径， $h$ 为高
棱锥体	$V = \frac{1}{3} S_{底} h$	$S_{底}$ 为底面积， $h$ 为高
棱柱体	$V = S_{底} h$	$S_{底}$ 为底面积， $h$ 为高
棱台	$V = \frac{1}{3} h (S_{上} + S_{下} + \sqrt{S_{上} S_{下}})$	$S_{上}, S_{下}$ 为上下底面积， $h$ 为高

空间点、直线、平面的位置关系

平面的基本性质

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（ $A \in l, B \in l, A \in α, B \in α \Rightarrow l \subset α$ ）；

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）；

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（ $P \in α, P \in β \Rightarrow α \cap β = l, P \in l$ ）。

空间中直线与直线的位置关系

共面直线：

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。

空间中直线与平面的位置关系

直线在平面内：有无数个公共点（ $l \subset α$ ）；
直线与平面相交：有且只有一个公共点（ $l \cap α = A$ ）；
直线与平面平行：没有公共点（ $l ∥ α$ ）。

空间中平面与平面的位置关系

两个平面平行：没有公共点（ $α ∥ β$ ）；
两个平面相交：有一条公共直线（ $α \cap β = l$ ）。

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 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做'''棱柱'''。
-相关概念：
+概念：
-* 互相平行的两个面叫做棱柱的'''底面'''（上底、下底）
+* 互相平行的两个面叫做棱柱的'''底面'''（上底、下底）；
-* 其余各面叫做棱柱的'''侧面'''
+* 其余各面叫做棱柱的'''侧面'''；
-* 相邻侧面的公共边叫做棱柱的'''侧棱'''
+* 相邻侧面的公共边叫做棱柱的'''侧棱'''；
-* 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的'''顶点'''
+* 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的'''顶点'''；
 分类：
-* 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
+* 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
 * 按侧棱与底面关系：
-** 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）
+** 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
-** 斜棱柱：侧棱不垂直于底面
+** 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。
 性质：
-* 底面互相平行且全等
+* 底面互相平行且全等；
-* 侧棱互相平行且相等
+* 侧棱互相平行且相等；
-* 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）
+* 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；
 === 棱锥 ===
 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做'''棱锥'''。
-相关概念：
+概念：
-* 多边形面叫做棱锥的'''底面'''
+* 多边形面叫做棱锥的'''底面'''；
-* 其余各面叫做棱锥的'''侧面'''
+* 其余各面叫做棱锥的'''侧面'''；
-* 各侧面的公共顶点叫做棱锥的'''顶点'''
+* 各侧面的公共顶点叫做棱锥的'''顶点'''；
-* 顶点到底面的距离叫做棱锥的'''高'''
+* 顶点到底面的距离叫做棱锥的'''高'''；
-分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥……
+分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。
 性质：
-* 底面是多边形
+* 底面是多边形；
-* 侧面是有公共顶点的三角形
+* 侧面是有公共顶点的三角形。
 === 棱台 ===
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 相关概念：
-* 原棱锥的底面和截面叫做棱台的'''下底'''和'''上底'''
+* 原棱锥的底面和截面叫做棱台的'''下底'''和'''上底'''；
-* 其余各面叫做棱台的'''侧面'''
+* 其余各面叫做棱台的'''侧面'''；
-* 相邻侧面的公共边叫做棱台的'''侧棱'''
+* 相邻侧面的公共边叫做棱台的'''侧棱'''；
-分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
+分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。
 性质：
-* 上下底面互相平行且相似
+* 上下底面互相平行且相似；
-* 侧棱延长后交于一点
+* 侧棱延长后交于一点。
 == 旋转体 ==
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 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆柱'''。
-相关概念：
+概念：
-* 旋转轴叫做圆柱的'''轴'''
+* 旋转轴叫做圆柱的'''轴'''；
-* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的'''底面'''
+* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的'''底面'''；
-* 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的'''侧面'''
+* 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的'''侧面'''；
-* 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的'''母线'''
+* 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的'''母线'''。
 性质：
-* 两个底面是全等的圆，且互相平行
+* 两个底面是全等的圆，且互相平行；
-* 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高
+* 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
-* 轴截面（过轴的截面）是矩形
+* 轴截面（过轴的截面）是矩形。
 === 圆锥 ===
 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆锥'''。
-相关概念：
+概念：
-* 旋转轴叫做圆锥的'''轴'''
+* 旋转轴叫做圆锥的'''轴'''；
-* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的'''底面'''
+* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的'''底面'''；
-* 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的'''侧面'''
+* 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的'''侧面'''；
-* 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的'''母线'''
+* 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的'''母线'''。
 性质：
-* 底面是圆
+* 底面是圆；
-* 母线交于顶点，长度相等
+* 母线交于顶点，长度相等；
-* 轴截面是等腰三角形
+* 轴截面是等腰三角形。
 === 球 ===
 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做'''球体'''，简称'''球'''。
-相关概念：
+概念：
-* 半圆的圆心叫做球的'''球心'''
+* 半圆的圆心叫做球的'''球心'''；
-* 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的'''半径'''
+* 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的'''半径'''；
 * 连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的'''直径'''
@@ 第120行： / 第120行： @@
 |-
 | 棱台 || <math>S = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
 |}
 === 体积公式 ===
@@ 第147行： / 第147行： @@
 === 平面的基本性质 ===
-公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（<math>A \in l, B \in l, A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha</math>）
+# 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（<math>A \in l, B \in l, A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha</math>）；
-公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）
+# 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）；
-公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（<math>P \in \alpha, P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l, P \in l</math>）
+# 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（<math>P \in \alpha, P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l, P \in l</math>）。
 === 空间中直线与直线的位置关系 ===
 共面直线：
-* 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点
+* 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
-* 平行直线：在同一平面内，没有公共点
+* 平行直线：在同一平面内，没有公共点；
-异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）
+异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。
 === 空间中直线与平面的位置关系 ===
-* 直线在平面内：有无数个公共点（<math>l \subset \alpha</math>）
+* 直线在平面内：有无数个公共点（<math>l \subset \alpha</math>）；
-* 直线与平面相交：有且只有一个公共点（<math>l \cap \alpha = A</math>）
+* 直线与平面相交：有且只有一个公共点（<math>l \cap \alpha = A</math>）；
-* 直线与平面平行：没有公共点（<math>l \parallel \alpha</math>）
+* 直线与平面平行：没有公共点（<math>l \parallel \alpha</math>）。
 === 空间中平面与平面的位置关系 ===
-* 两个平面平行：没有公共点（<math>\alpha \parallel \beta</math>）
+* 两个平面平行：没有公共点（<math>\alpha \parallel \beta</math>）；
-* 两个平面相交：有一条公共直线（<math>\alpha \cap \beta = l</math>）
+* 两个平面相交：有一条公共直线（<math>\alpha \cap \beta = l</math>）。
 [[分类:几何]]
-[[分类:高中数学]]

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