解三角形 - 版本历史

2026年1月20日 (二) 02:20 MM 喵了个

2026-01-20T02:20:14Z

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第1行：		第1行：
	'''解三角形'''指已知三角形的部分边角元素，求解其余边角的过程。		'''解三角形'''指已知三角形的部分边角元素，求解其余边角的过程。
			{{待补充\|基本定理待补充，另外例题应放到高中题库}}
	== 解三角形核心体系 ==		== 解三角形核心体系 ==
	=== 基本定理 ===		=== 基本定理 ===

2025年7月15日 (二) 09:44 MM 喵了个

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第113行：		第113行：
	* '''海伦公式验证'''：使用前需满足三角不等式 <math>a+b>c</math>		* '''海伦公式验证'''：使用前需满足三角不等式 <math>a+b>c</math>

	[[分类:~~代数]]~~		[[分类:三角函数]]
	~~[[分类:几何~~]]

2025年7月15日 (二) 09:24 MM 喵了个

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第3行：		第3行：
	== 解三角形核心体系 ==		== 解三角形核心体系 ==
	=== 基本定理 ===		=== 基本定理 ===
			（待补充）

	=== 万能公式（半角代换） ===		=== 万能公式（半角代换） ===

MM 喵了个：标准化

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标准化

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第14行：		第14行：
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	'''~~应用示例~~'''：已知 <math>\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}</math>，求 <math>\cos A</math>		'''例'''：已知 <math>\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}</math>，求 <math>\cos A</math>

	解：<math>\cos A = \dfrac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \dfrac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \dfrac{8/9}{10/9} = 0.8</math>		解：<math>\cos A = \dfrac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \dfrac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \dfrac{8/9}{10/9} = 0.8</math>
第37行：		第37行：

	'''例''': <math>B=30^\circ, C=45^\circ, b=4</math>		'''例''': <math>B=30^\circ, C=45^\circ, b=4</math>

	解：<math>A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ</math>		解：<math>A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ</math>

MM 喵了个：标准化

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标准化

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第7行：		第7行：
	=== 万能公式（半角代换） ===		=== 万能公式（半角代换） ===
	用半角正切统一表示三角函数（适合含复杂角度的方程）：		用半角正切统一表示三角函数（适合含复杂角度的方程）：

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	\text{正弦：} & \sin A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\		\text{正弦：} & \sin A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\
第19行：		第20行：
	=== 射影定理与变形 ===		=== 射影定理与变形 ===
	'''射影定理'''（余弦定理的变形）：		'''射影定理'''（余弦定理的变形）：

	<math>\begin{cases}		<math>\begin{cases}
	a = b \cos C + c \cos B \\		a = b \cos C + c \cos B \\
第26行：		第28行：

	'''几何意义'''：任意边等于邻边在其余边上的投影之和（如图		'''几何意义'''：任意边等于邻边在其余边上的投影之和（如图
			（图片）

	== 题型分类与解法 ==		== 题型分类与解法 ==

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2025-07-15T08:57:17Z

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'''解三角形'''指已知三角形的部分边角元素，求解其余边角的过程。

== 解三角形核心体系 ==
=== 基本定理 ===

=== 万能公式（半角代换） ===
用半角正切统一表示三角函数（适合含复杂角度的方程）：
<math>\begin{align}
\text{正弦：} & \sin A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\
\text{余弦：} & \cos A = \dfrac{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\
\text{正切：} & \tan A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}
\end{align}</math>

'''应用示例'''：已知 <math>\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}</math>，求 <math>\cos A</math>

解：<math>\cos A = \dfrac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \dfrac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \dfrac{8/9}{10/9} = 0.8</math>

=== 射影定理与变形 ===
'''射影定理'''（余弦定理的变形）：
<math>\begin{cases}
a = b \cos C + c \cos B \\
b = a \cos C + c \cos A \\
c = a \cos B + b \cos A
\end{cases}</math>

'''几何意义'''：任意边等于邻边在其余边上的投影之和（如图

== 题型分类与解法 ==
=== 已知两角及一边（AAS/ASA） ===
'''步骤''':
# 用 <math>A + B + C = 180^\circ</math> 求第三角
# 用正弦定理求另两边

'''例''': <math>B=30^\circ, C=45^\circ, b=4</math>
解：<math>A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ</math>

<math>a = \dfrac{4 \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 7.72</math>,

<math>c = \dfrac{4 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 5.66</math>

=== 已知两边及夹角（SAS） ===
'''步骤''':
# 用余弦定理求第三边
# 用正弦定理求较小边对角
# 求第三角

'''例''': <math>a=5, b=7, C=60^\circ</math>

解：<math>c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 39 \implies c \approx 6.24</math>

<math>\sin A = \dfrac{5 \sin 60^\circ}{6.24} \approx 0.693 \implies A \approx 44^\circ</math>

<math>B = 180^\circ - 60^\circ - 44^\circ = 76^\circ</math>

=== 已知三边（SSS） ===
'''步骤''':
# 用余弦定理求最大角
# 用正弦定理求另一角
# 求第三角

'''例''': <math>a=3, b=4, c=5</math>

解：<math>\cos C = \dfrac{3^2+4^2-5^2}{2 \times 3 \times 4} = 0 \implies C=90^\circ</math>

<math>\sin A = \dfrac{3 \sin 90^\circ}{5} = 0.6 \implies A \approx 36.87^\circ</math>

<math>B \approx 53.13^\circ</math>

=== 已知两边及一对角（SSA） ===

'''例''': <math>a = \sqrt{2}, b = 2, A = 30^\circ</math>

解：<math>b \sin A = 2 \times 0.5 = 1</math>, ∵ <math>1 < \sqrt{2} < 2</math> ∴ 两解

<math>\sin B = \dfrac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies B_1=45^\circ, B_2=135^\circ</math>

• <math>B_1=45^\circ</math> 时: <math>C_1=105^\circ, c_1 \approx 3.86</math>

• <math>B_2=135^\circ</math> 时: <math>C_2=15^\circ, c_2 \approx 1.04</math>

'''例''': <math>a=7, b=5, c=8</math>

<math>\cos C = \dfrac{7^2+5^2-8^2}{2 \times 7 \times 5} = \dfrac{-10}{70} < 0 \implies \text{钝角三角形}</math>

== 进阶应用 ==
=== 综合例题 ===
'''问题''': 已知 <math>a=6, \sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cos C = \frac{1}{4}</math>，求 <math>c</math> 和面积 <math>S</math>

'''解法''':
# 由 <math>\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}</math> 得 <math>\cos B = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}</math>
# <math>\sin C = \sqrt{1 - (1/4)^2} = \sqrt{15}/4</math>
# 分情况：
## <math>\cos B = \frac{\sqrt{6}}{3}</math> 时：<math>\cos A = -\cos(B+C) = -(\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{ -\sqrt{6} + 3\sqrt{5} }{12}</math>
## <math>\cos B = -\frac{\sqrt{6}}{3}</math> 时：<math>\cos A = -(-\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{ \sqrt{6} + 3\sqrt{5} }{12}</math>
# 两种情形 <math>\cos A > 0</math> → '''两解'''
# 分别用 <math>c = a \dfrac{\sin C}{\sin A}</math> 和 <math>S = \frac{1}{2} ac \sin B</math> 计算

=== 常用三角恒等式 ===
* 内角和恒等：<math>\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C</math>
* 边角互化：<math>a + b = 2R (\sin A + \sin B)</math>
* 和差公式：<math>\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B</math>
* 二倍角：<math>\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A = 2\cos^2 A - 1</math>

=== 典型错误 ===
* '''SSA多解陷阱'''：当 <math>\angle A < 90^\circ</math> 且 <math>b \sin A < a < b</math> 时必有两解
* '''钝角判断错误'''：当 <math>\cos \theta < 0</math> 时角为钝角（非锐角）
* '''计算器模式'''：确保设置为角度制（DEG）而非弧度制（RAD）
* '''海伦公式验证'''：使用前需满足三角不等式 <math>a+b>c</math>

[[分类:代数]]
[[分类:几何]]

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