MM 喵了个：创建页面，内容为“用已知的信息来求函数解析式。 === 替换法 === 简单题如：
已知 $f(x+1)=x^2$ ，求 $f(x)$ 的解析式.
可把 $f(x+1)=x^2$ 中的 $x$ 换成 $x-1$ ，得 $f(x)=(x-1)^2$ . === 配凑法 ===
原函数表达式为 $f(t)=g(x)$ ， $t$ 是关于 $x$ 的式子，求 $f(x)$ 的解析式
这…”

2026-01-19T07:47:02Z

创建页面，内容为“用已知的信息来求函数解析式。 === 替换法 === 简单题如： <blockquote> 已知 <math>f(x+1)=x^2</math>，求 <math>f(x)</math> 的解析式. </blockquote> 可把 <math>f(x+1)=x^2</math> 中的 <math>x</math> 换成 <math>x-1</math>，得 <math>f(x)=(x-1)^2</math>. === 配凑法 === <blockquote> 原函数表达式为 <math>f(t)=g(x)</math>，<math>t</math> 是关于 <math>x</math> 的式子，求 <math>f(x)</math> 的解析式 </blockquote> 这…”

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用已知的信息来求函数解析式。
=== 替换法 ===
简单题如：
<blockquote>
已知 <math>f(x+1)=x^2</math>，求 <math>f(x)</math> 的解析式.
</blockquote>
可把 <math>f(x+1)=x^2</math> 中的 <math>x</math> 换成 <math>x-1</math>，得 <math>f(x)=(x-1)^2</math>.
=== 配凑法 ===
<blockquote>
原函数表达式为 <math>f(t)=g(x)</math>，<math>t</math> 是关于 <math>x</math> 的式子，求 <math>f(x)</math> 的解析式
</blockquote>
这时要把 <math>g(x)</math> 通过变形、整理，使其变为只含 <math>t</math> 与常数的式子，然后将 <math>t</math> 换成 <math>x</math>，即可得到 <math>f(x)</math> 的解析式.

=== 换元法 ===
把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

<blockquote>
<math>f(g(x))=\varphi (x)</math>，求 <math>f(x)</math> 的表达式.
</blockquote>

令 <math>t=g(x)</math>，从中解出 <math>x=h(t)</math>，代入右边 <math>\varphi(x)</math> 整理可得 <math>f(t)</math> 的表达式.
* 注意自变量 <math>t</math> 的取值范围是函数 <math>t=g(x)</math> 的值域，不是已知条件中 <math>x</math> 的取值范围.

=== 待定系数法 ===
使用字母来表示确定的系数.

<blockquote>
已知 <math>f(x)</math> 是一次函数，且 <math>f(f(x))=4x-1</math>，求 <math>f(x)</math>
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，那么 <math>f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x-1</math>

→ <math>k^2+kb+b=4x-1</math>

可解得 <math>f(x)</math> 的表达式，为 <math>f(x)=2x-\frac{1}{3}</math> 或 <math>f(x)=-2x+1</math>.

=== 解方程组法 ===
又称'''消元法'''，常用于已知多个条件、多个函数值，要求出函数解析式的情况.

把题目给出的条件写成关于未知函数的方程组，通过代入、消元等方式求出函数的解析式.

<blockquote>
已知函数 <math>f(x)</math> 满足
<math>\begin{cases}
f(1)=3 \\
f(2)=5
\end{cases}</math>
且 <math>f(x)</math> 是一次函数，求 <math>f(x)</math>.
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，代入条件得
<math>\begin{cases}
k+b=3 \\
2k+b=5
\end{cases}</math>

解得 <math>k=2, \; b=1</math>，
所以 <math>f(x)=2x+1</math>。

=== 赋值法 ===
又称'''特殊值法'''，适用于函数表达式较复杂、但可以通过代入特殊值来简化计算的情况.

选择合适的 <math>x</math> 值，使表达式大幅简化，从而求出未知量.

<blockquote>
已知 <math>f(x)+f(2-x)=x</math>，求 <math>f(x)</math>。
</blockquote>

令 <math>x=2</math>，得
<math>f(2)+f(0)=2</math> ……①

令 <math>x=0</math>，得
<math>f(0)+f(2)=0</math> ……②

由①②联立可得
<math>f(2)=1,\; f(0)=-1</math>

再将 <math>x</math> 代回原式整理，可求得一般形式的 <math>f(x)</math>。

[[分类:数学]]

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