不等式 - 版本历史

2026年2月1日 (日) 09:15 MM 喵了个

2026-02-01T09:15:49Z

←上一版本		2026年2月1日 (日) 17:15的版本
第1行：		第1行：
	我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.		我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
			{{待补充\|一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布}}
	== 基本事实 ==		== 基本事实 ==

MM 喵了个：/* 拓展结论 */ 严禁话表达

2026-01-19T07:42:15Z

拓展结论：严禁话表达

←上一版本		2026年1月19日 (一) 15:42的版本
第34行：		第34行：
	# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.		# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

	~~由此可总结出：~~		'''由此可总结出'''：
			* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。
	~~当两个{{color\|red\|正数}}变量的{{color\|blue\|积}}或{{color\|orange\|和}}为{{color\|red\|定值}}时，他们的{{color\|blue\|和有最小值}}或{{color\|orange\|积有最大值}}~~

	== 糖水原理 ==		== 糖水原理 ==

2026年1月19日 (一) 06:23 MM 喵了个

2026-01-19T06:23:32Z

2026年1月17日 (六) 02:24 MM 喵了个

2026-01-17T02:24:33Z

←上一版本		2026年1月17日 (六) 10:24的版本
第130行：		第130行：
	\|}		\|}

			{{到题库\|不等式}}
	~~= 例题 =~~		[[分类:代数]]

MM 喵了个：/* 基本不等式 */

2026-01-17T01:49:52Z

基本不等式

←上一版本		2026年1月17日 (六) 09:49的版本
第132行：		第132行：

	= 例题 =		= 例题 =
	~~== 基本不等式 ==~~
	~~=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===~~
	~~# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？~~
	~~#当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？~~

	~~解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.~~

	1.

	* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
	* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
	* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
	* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
	* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
	* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

	2.

	* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
	* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
	* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
	* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
	* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

	~~[[分类:代数]]~~

MM 喵了个：/* 一元二次不等式 */

2025-12-23T18:55:02Z

一元二次不等式

←上一版本		2025年12月24日 (三) 02:55的版本
第65行：		第65行：

	== 一元二次不等式 ==		== 一元二次不等式 ==

	~~=== 与二次函数的关系 ===~~
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+与二次函数的关系
	!		!
	!<math>\Delta > 0</math>		!<math>\Delta > 0</math>
第137行：		第135行：
	=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===		=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
	# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？		# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
	# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？		#当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

	解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.		解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

MM 喵了个：/* 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） */

2024-10-05T07:16:21Z

一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法）

←上一版本		2024年10月5日 (六) 15:16的版本
第100行：		第100行：
	!分布情况		!分布情况
	!两个负根即两根都小于 0		!两个负根即两根都小于 0
			<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
	!两个正根即两根都大于 0		!两个正根即两根都大于 0
	!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0		!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
	\|-		\|-
	!大致图象 (a>0)		!大致图象 <math>(a>0)</math>
	\|<图象>		\|<图象>
	\|<图象>		\|<图象>
第130行：		第131行：
	\|		\|
	\|}		\|}

2024年10月5日 (六) 07:07 MM 喵了个

2024-10-05T07:07:23Z

@@ 第94行： / 第94行： @@
 |<math>\emptyset</math>
 |}
 = 例题 =

MM 喵了个：/* 与二次函数的关系 */

2024-10-05T05:22:06Z

与二次函数的关系

←上一版本		2024年10月5日 (六) 13:22的版本
第75行：		第75行：
	\|-		\|-
	!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象		!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
	\|[[文件:Delta大于0.png\|缩略图\|~~145px~~\|此时与x轴有两个交点]]		\|[[文件:Delta大于0.png\|缩略图\|140px\|此时与x轴有两个交点]]
	\|[[文件:Delta等于0.png\|缩略图\|~~145px~~\|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]		\|[[文件:Delta等于0.png\|缩略图\|140px\|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
	\|[[文件:Delta小于0.png\|缩略图\|~~145px~~\|此时与x轴没有交点]]		\|[[文件:Delta小于0.png\|缩略图\|140px\|此时与x轴没有交点]]
	\|-		\|-
	!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根		!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根

MM 喵了个：/* 与二次函数的关系 */

2024-10-05T05:20:54Z

与二次函数的关系

←上一版本		2024年10月5日 (六) 13:20的版本
第75行：		第75行：
	\|-		\|-
	!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象		!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
	\|[[文件:Delta大于0.png\|缩略图\|~~150px~~\|此时与x轴有两个交点]]		\|[[文件:Delta大于0.png\|缩略图\|145px\|此时与x轴有两个交点]]
	\|[[文件:Delta等于0.png\|缩略图\|~~150px~~\|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]		\|[[文件:Delta等于0.png\|缩略图\|145px\|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
	\|[[文件:Delta小于0.png\|缩略图\|~~150px~~\|此时与x轴没有交点]]		\|[[文件:Delta小于0.png\|缩略图\|145px\|此时与x轴没有交点]]
	\|-		\|-
	!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根		!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根

←上一版本		2026年1月19日 (一) 14:23的版本
第3行：		第3行：
	== 基本事实 ==		== 基本事实 ==

	如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>		* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

	如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>		* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

	如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>		* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

	反过来也成立. 即		反过来也成立. 即

	<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>		* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

	<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>		* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

	<math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>		* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

	所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.		所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.
第21行：		第21行：
	== 基本不等式 ==		== 基本不等式 ==

	'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>~~{{color\|red\|~~基本不等式}}</big>.'''		'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

	对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.		对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

不等式 - 版本历史

2026年2月1日 (日) 09:15 MM 喵了个

MM 喵了个：​/* 拓展结论 */ 严禁话表达

2026年1月19日 (一) 06:23 MM 喵了个

2026年1月17日 (六) 02:24 MM 喵了个

MM 喵了个：​/* 基本不等式 */

MM 喵了个：​/* 一元二次不等式 */

MM 喵了个：​/* 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） */

2024年10月5日 (六) 07:07 MM 喵了个

MM 喵了个：​/* 与二次函数的关系 */

MM 喵了个：​/* 与二次函数的关系 */

MM 喵了个：/* 拓展结论 */ 严禁话表达

MM 喵了个：/* 基本不等式 */

MM 喵了个：/* 一元二次不等式 */

MM 喵了个：/* 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） */

MM 喵了个：/* 与二次函数的关系 */

MM 喵了个：/* 与二次函数的关系 */