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我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''. 

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

'''由此可总结出'''：
* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大. 

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==
{| class="wikitable"
|+与二次函数的关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
|-
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
!分布情况
!两个负根 即两根都小于 0
<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
!两个正根 即两根都大于 0
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 <math>(a>0)</math>
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
!分布情况
!两个负根 即两根都小于 0
!两个正根 即两根都大于 0
!一正根一负根 即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 (a<0)
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}

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[[分类:代数]]