查看“︁分类:函数”︁的源代码

[[文件:Y=sin(x) 图像.png|缩略图|右|替代=正弦函数图像示意，y=sin(x) 的图像|正弦函数图像示意]]
描述自变量与因变量之间的依赖关系。
== 定义 ==

# 设 <math>A, B</math> 是'''非空的数集'''，
# 如果对于'''集合 <math>A</math>''' 中任意一个数 <math>x</math>，
# 按照'''某种确定的对应关系 <math>f</math>'''，
# 在'''集合 <math>B</math>''' 中都有唯一确定的数 <math>y</math> 和它对应，
# 那么就称 <math>f: A \rightarrow B</math> 为从集合 <math>A</math> 到集合 <math>B</math> 的一个函数，记作 <math>y = f(x), \; x \in A</math>.
* <math>x</math> 叫做自变量，
* <math>x</math> 的取值范围 <math>A</math> 叫做函数的'''定义域'''，
* 与 <math>x</math> 的值相对应的 <math>y</math> 值叫做函数值，
* 函数值的集合 <math>\{f(x) \mid x \in A\}</math> 叫做函数的'''值域'''.

=== 函数的三要素 ===
* 定义域 <math>A</math>
* 对应法则 <math>f</math>
* 值域 <math>\{f(x) \mid x \in A\}</math>

若两个函数的定义域和对应法则相同，则它们是同一函数。

=== 函数的本质 ===
* 函数是一种特殊的映射，其中集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> 都是数集。
* 函数的对应关系必须满足**单值性**，即每个 <math>x \in A</math> 只能对应一个 <math>y \in B</math>。
== 表示方法 ==
<del>这是初中笔记吗，怎么还写上表示方法了（？</del>
=== 解析法 ===
用数学表达式（解析式）来表示函数关系的方法。
* 优点：精确、便于计算和分析。
示例：
* [[一次函数]]：<math>y = kx + b</math>
* [[二次函数]]：<math>y = ax^2 + bx + c</math>
* [[反比例函数]]：<math>y = \frac{k}{x}</math>
* [[三角函数]]：<math>y = \sin x</math>

=== 列表法 ===
通过列出表格来表示函数的方法，通常用于定义域为有限集的情况。
* 优点：直观、便于查询具体函数值。
示例：
{| class="wikitable"
|-
| <math>x</math>|| -2 || -1 || 0 || 1 || 2
|-
| <math>f(x)</math>|| 4 || 1 || 0 || 1 || 4
|}

=== 图像法 ===
用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法。
* 优点：直观展示函数的变化趋势和性质。
* 图像的定义：函数 <math>y = f(x)</math> 的图像是坐标平面上的点集 <math>\{(x, f(x)) \mid x \in A\}</math>。
* 函数图像与垂直直线的交点：任意垂直于 x 轴的直线与函数图像至多有一个交点（单值性的几何意义）。

== 函数的定义域 ==
函数的定义域是自变量 <math>x</math> 的取值范围，通常由以下因素确定：
1. 解析式有意义的条件（如分母不为零、偶次根号内非负等）
2. 实际问题的限制（如时间、长度等非负）
3. 人为约定的范围

=== 求定义域的步骤 ===
1. 写出解析式有意义的不等式（组）
2. 解不等式（组）
3. 用集合或区间表示解集

=== 示例 ===
* 函数 <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> 的定义域为 <math>x \neq 1</math>，即 <math>(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)</math>
* 函数 <math>f(x) = \sqrt{x+2}</math> 的定义域为 <math>x \geq -2</math>，即 <math>[-2, +\infty)</math>

== 函数的值域 ==
函数的值域是函数值的集合，通常由定义域和对应法则共同确定。
* 值域是集合 <math>B</math> 的子集，即 <math>\{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B</math>
* 求值域的方法：观察法、配方法、反函数法、判别式法等

== 函数的奇偶性 ==
{| class="wikitable"
|+函数奇偶性的定义
!
!偶函数
!奇函数
|-
|文字语言
|如果
|如果右
|-
|符号语言
|如果对
|如果对右
|-
|定义域特征
| colspan="2" |定义域必须是关于原点对称的区间
|}
[[分类:数学]]