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既有大小又有方向的量叫做'''向量'''（物理中称为矢量），如速度、力等。

* 向量的大小叫做向量的'''模'''（或长度），记作 <math>|\overrightarrow{a}|</math> 或 <math>|\boldsymbol{a}|</math>（粗体）。
* 只有大小没有方向的量叫做'''数量'''（物理中称为标量），如长度、面积、质量等。
=== 特殊向量 ===

* '''零向量'''：长度为0的向量叫做零向量，记作 <math>\overrightarrow{0}</math> 或 <math>\boldsymbol{0}</math>（粗体）。
** 零向量的方向是任意的。
* '''单位向量'''：长度等于1个单位的向量叫做单位向量。
** 对于任意非零向量 <math>\overrightarrow{a}</math>，与它同方向的单位向量记作 <math>\overrightarrow{a_0}</math>，且 <math>\overrightarrow{a_0} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}</math>。
* '''平行向量（共线向量）'''：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
** 向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 平行，记作 <math>\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}</math>。
** 规定：零向量与任意向量平行，即 <math>\overrightarrow{0} \parallel \overrightarrow{a}</math>。
* '''相等向量'''：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
** 向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 相等，记作 <math>\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}</math>。
** 相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。

== 向量的表示方法 ==

=== 几何表示法 ===

用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以 <math>A</math> 为起点、<math>B</math> 为终点的向量记作 <math>\overrightarrow{AB}</math>，其模记作 <math>|\overrightarrow{AB}|</math>。

=== 字母表示法 ===

用单个小写字母表示，如 <math>\overrightarrow{a}</math>、<math>\overrightarrow{b}</math> 或 <math>\boldsymbol{a}</math>、<math>\boldsymbol{b}</math>（粗体字母），在此为了便于区分统一使用箭头符号。

=== 坐标表示法 ===

在平面直角坐标系中，设向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 的起点在原点，终点坐标为 <math>(x, y)</math>，则向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 可以表示为 <math>(x, y)</math>，其中 <math>x</math>、<math>y</math> 叫做向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 的坐标。

* 向量的模：若 <math>\overrightarrow{a} = (x, y)</math>，则 <math>|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>。
* 零向量的坐标为 <math>(0, 0)</math>。

== 向量的运算 ==

=== 向量的加法 ===

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

'''三角形法则'''：已知非零向量 <math>\overrightarrow{a}</math>、<math>\overrightarrow{b}</math>，在平面内任取一点 <math>A</math>，作 <math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}</math>，<math>\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}</math>，则向量 <math>\overrightarrow{AC}</math> 叫做 <math>\overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 的和，记作 <math>\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}</math>，即 <math>\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}</math>。

'''平行四边形法则'''：已知非零向量 <math>\overrightarrow{a}</math>、<math>\overrightarrow{b}</math>，在平面内任取一点 <math>O</math>，作 <math>\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}</math>，<math>\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}</math>，以 <math>OA</math>、<math>OB</math> 为邻边作平行四边形 <math>OACB</math>，则向量 <math>\overrightarrow{OC}</math> 叫做 <math>\overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 的和，即 <math>\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}</math>。

'''坐标运算'''：若 <math>\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)</math>，<math>\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)</math>，则 <math>\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)</math>。

'''运算律'''：
* 交换律：<math>\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}</math>
* 结合律：<math>(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})</math>

=== 向量的减法 ===

求两个向量差的运算叫做向量的减法。

'''几何意义'''：已知非零向量 <math>\overrightarrow{a}</math>、<math>\overrightarrow{b}</math>，在平面内任取一点 <math>O</math>，作 <math>\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}</math>，<math>\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}</math>，则向量 <math>\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}</math>（即从向量 <math>\overrightarrow{b}</math> 的终点指向向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 的终点的向量）。

'''坐标运算'''：若 <math>\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)</math>，<math>\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)</math>，则 <math>\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)</math>。

=== 向量的数乘 ===

实数 <math>\lambda</math> 与向量 <math>\overrightarrow{a}</math> 的积是一个向量，叫做向量的数乘，记作 <math>\lambda \overrightarrow{a}</math>。

'''规定'''：
* 模：<math>|\lambda \overrightarrow{a}| = |\lambda| \cdot |\overrightarrow{a}|</math>
* 方向：当 <math>\lambda > 0</math> 时，<math>\lambda \overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{a}</math> 方向相同；当 <math>\lambda < 0</math> 时，<math>\lambda \overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{a}</math> 方向相反；当 <math>\lambda = 0</math> 时，<math>\lambda \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}</math>。

'''坐标运算'''：若 <math>\overrightarrow{a} = (x, y)</math>，则 <math>\lambda \overrightarrow{a} = (\lambda x, \lambda y)</math>。

'''运算律'''：
* <math>\lambda (\mu \overrightarrow{a}) = (\lambda \mu) \overrightarrow{a}</math>
* <math>(\lambda + \mu) \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{a}</math>
* <math>\lambda (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \lambda \overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{b}</math>

=== 向量的数量积（点乘） ===

已知两个非零向量 <math>\overrightarrow{a}</math>、<math>\overrightarrow{b}</math>，它们的夹角为 <math>\theta</math>，则数量 <math>|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos\theta</math> 叫做 <math>\overrightarrow{a}</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 的数量积（或内积），记作 <math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}</math>。

* 零向量与任一向量的数量积为0，即 <math>\overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{a} = 0</math>。

'''几何意义'''：数量积 <math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}</math> 等于 <math>\overrightarrow{a}</math> 的长度 <math>|\overrightarrow{a}|</math> 与 <math>\overrightarrow{b}</math> 在 <math>\overrightarrow{a}</math> 方向上的投影 <math>|\overrightarrow{b}| \cos\theta</math> 的乘积。

'''坐标运算'''：若 <math>\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)</math>，<math>\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)</math>，则 <math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2</math>。

'''运算律'''：
* 交换律：<math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}</math>
* 数乘结合律：<math>(\lambda \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = \lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \cdot (\lambda \overrightarrow{b})</math>
* 分配律：<math>\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}</math>

== 向量平行与垂直的条件 ==

=== 平行条件 ===

设 <math>\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)</math>，<math>\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)</math>（<math>\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}</math>），则 <math>\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}</math> 的充要条件是 <math>x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0</math>（即存在实数 <math>\lambda</math>，使得 <math>\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}</math>）。
=== 垂直条件 ===

设 <math>\overrightarrow{a} = (x_1, y_1)</math>，<math>\overrightarrow{b} = (x_2, y_2)</math> 为非零向量，则 <math>\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}</math> 的充要条件是 <math>\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0</math>，即 <math>x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0</math>。

[[分类:解析几何]]