高中笔记 - 用户贡献 [zh-hans]

模板:到题库

2026-03-30T09:37:51Z

MM 喵了个：改成 note 路径

<div class="quiz-notice" style="border:1px solid var(--border-color-base); border-left:4px solid #4a90e2; padding:1.2em 1em; border-radius:8px; background:var(--background-color-notice-subtle); margin:0;">
<div style="font-size:1.2em; font-weight:bold; display:flex; align-items:center; gap:0.4em;">
[[File:Book.png|30px]] <span><big>高中题库</big><small>提示您：</small></span></div>
<div>
关于<strong>{{{1}}}</strong>的相关习题，已收录在姊妹项目'''[https://quiz.classnote.top 高中题库]'''中。
</div>
<div>
请参阅：<strong>[https://quiz.classnote.top/note/{{{1}}} {{{1}}}]</strong></div></div>
<noinclude>
使用例：
<code><nowiki>{{到题库|不等式}}</nowiki></code>
{{到题库|不等式}}
</noinclude>

高中笔记:方针

2026-03-01T16:12:40Z

MM 喵了个：

这是'''高中笔记'''编辑方针。

在这里，你可以'''编写'''、'''查阅'''、'''纠错'''这里的内容；在编写前最好先询问老师相关知识是否正确。

你也可以'''参考'''其他网站来补充笔记（例如 [https://whk-wiki.github.io/whk-wiki/ Whk-wiki] 和 [https://zh.wikibooks.org/ 维基教科书]，请尊重其它网站的著作权，不要复制有版权的文字）。

== 编写规范 ==
高中笔记不是教科书，编写笔记条目时请注意语言规范。

请遵守中华人民共和国法律，发布的内容应当符合社会主义核心价值观，维护国家安全和公共利益，弘扬正能量，促进形成积极健康、向上向善的网络文化。

=== 标准化 ===
==== 中英文混排编辑格式标准 ====
{| class="wikitable"
|-
! 场景 !! 错误示例 ❌ !! 正确示例 ✅ !! 说明
|-
| 中文 + 英文单词 || <code>你好World</code> || <code>你好 World</code> || 中英文单词间需空格
|-
| 中文 + 数字 || <code>价格99元</code> || <code>价格 99 元</code> || 中文与数字间需空格
|-
|-
| 数字 + 单位 || <code>100 km, 5 kg</code> || <code>100km, 5kg</code> || 数字与英文单位间无需空格
|}

复杂场景示例：
{| class="wikitable"
|-
! 错误 ❌ !! 正确 ✅
|-
| <code>请查看PDF第5页。</code> || <code>请查看 PDF 第 5 页。</code>
|-
| <code>我使用iPhone14Pro。</code> || <code>我使用 iPhone 14 Pro。</code>
|-
| <code>登录classnote.top。</code> || <code>登录 classnote.top。</code>（网址视为整体单位）
|}
例外情况：
# '''中文标点'''：全角标点（<code>，。！？；：“”‘’</code>）需紧贴内容<br/>
##✅ 正确：<code>他说：“Hello World！”</code><br/>
##❌ 错误：<code>他说：“ Hello World ！ ”</code>
# '''特殊格式'''：
## 网址：<code>https://classnote.top</code>（内部不拆解）
## 代码：<code><nowiki>print("你好")</nowiki></code>（保持原格式）
## 公式：
### 对于数学公式，请使用 <code><nowiki><math></nowiki></code>标签：<math>A = \pi r^2</math>（符号逻辑优先）
### 对于化学公式，请使用 <code><nowiki><chem></nowiki></code>标签：<chem>MnO4^- + H2C2O4 =\!=\!= CO_2 + Mn^{2+}</chem>

分类命名规范：
{| class="wikitable"
|-
! 分类类型 !! 命名模式 !! 示例 ✅ !! 错误 ❌ !! 说明
|-
| '''主题分类''' || <code>分类:[主题名]</code> || <code>分类:数学</code> || <code>分类:数学类</code> || 直接使用主题名词
|-
| '''子分类''' || <code>分类:[子主题]</code> || <code>分类:代数</code> || <code>分类:数学/代数</code> || 禁止使用斜杠分层
|-
|}
==== 源代码编写标准 ====
空格：
{| class="wikitable"
|-
! 过度空格 ❌ !! 说明
|-
| <code>这是一个极端例子</code> || 中文词内禁止添加空格
|-
| <code>Hello　　World</code> || 英文单词间只允许1个空格
（由于软件会将多个空格合并为一个，此处采用全角空格以展示错误案例）
|-
|}
== 禁止事项 ==
以下内容禁止出现在高中笔记中：
* 侵犯著作权的内容（包括教材原文、教辅原文等）
* 个人隐私、联系方式、广告、推广内容
* 政治敏感、违法违规内容
* 侮辱、攻击、歧视性言论
* 任何形式的考试答案泄露

== 模板使用方法 ==
高中笔记提供了一些常用模板，用于提示、跨站链接、内容标记等。模板的使用方式为：

<code><nowiki>{{模板名|参数1|参数2|…}}</nowiki></code>

常见模板示例：

* <code><nowiki>{{待补充}}</nowiki></code>
** 用于标记内容尚未完善的部分，添加此标签后会将页面划为“[[:分类:待补充页面|待补充页面]]”。

* <code><nowiki>{{到题库|不等式}}</nowiki></code>
** 在笔记页面中提示读者：本节相关习题（示例为“[[不等式]]”）已收录在“高中题库”站点。

模板参数说明：
* 若模板需要参数，请按照模板文档填写，例如：
** <code><nowiki>{{到题库|页面名}}</nowiki></code>，
其中“页面名”为跳转目标。

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焰色反应

2026-02-24T12:55:03Z

MM 喵了个：添加导览

某些金属（或它们的离子）在无色火焰中灼烧时，火焰会呈现出特定颜色的现象。

'''焰色反应'''听起来像是一个“化学反应”，但其实它是一个'''物理变化'''！
{{待补充|新页面}}
== 常见金属焰色 ==
* '''钠 '''(<chem>Na</chem>)：'''明亮的黄色'''（这也是为什么以前的高速路灯多用钠灯，黄光穿透力很强）;
* '''钾 '''(<chem>K</chem>)：'''浅紫色'''（因为试剂中常混有钠的黄光，做实验时通常要隔着蓝色的钴玻璃来观察，以此滤掉黄光的干扰）;
* '''铜 '''(<chem>Cu</chem>)：'''蓝绿色''';
* '''钙 '''(<chem>Ca</chem>)：'''砖红色''';
* '''钡 '''(<chem>Ba</chem>)：'''黄绿色''';
* '''锶 '''(<chem>Sr</chem>)：'''洋红色'''。
[[分类:化学]]
[[分类:物理]]

焰色反应

2026-02-24T12:51:52Z

MM 喵了个：加粗

'''焰色反应'''听起来像是一个“化学反应”，但其实它是一个'''物理变化'''！
{{待补充|新页面}}
== 常见金属焰色 ==
* '''钠 '''(<chem>Na</chem>)：'''明亮的黄色'''（这也是为什么以前的高速路灯多用钠灯，黄光穿透力很强）;
* '''钾 '''(<chem>K</chem>)：'''浅紫色'''（因为试剂中常混有钠的黄光，做实验时通常要隔着蓝色的钴玻璃来观察，以此滤掉黄光的干扰）;
* '''铜 '''(<chem>Cu</chem>)：'''蓝绿色''';
* '''钙 '''(<chem>Ca</chem>)：'''砖红色''';
* '''钡 '''(<chem>Ba</chem>)：'''黄绿色''';
* '''锶 '''(<chem>Sr</chem>)：'''洋红色'''。
[[分类:化学]]
[[分类:物理]]

焰色反应

2026-02-24T12:49:37Z

MM 喵了个：

'''焰色反应'''听起来像是一个“化学反应”，但其实它是一个'''物理变化'''！
{{待补充|新页面}}
== 常见金属焰色 ==
* 钠 (<chem>Na</chem>)：明亮的黄色（这也是为什么以前的高速路灯多用钠灯，黄光穿透力很强）;
* 钾 (<chem>K</chem>)：浅紫色（因为试剂中常混有钠的黄光，做实验时通常要隔着蓝色的钴玻璃来观察，以此滤掉黄光的干扰）;
* 铜 (<chem>Cu</chem>)：蓝绿色;
* 钙 (<chem>Ca</chem>)：砖红色;
* 钡 (<chem>Ba</chem>)：黄绿色;
* 锶 (<chem>Sr</chem>)：洋红色。
[[分类:化学]]
[[分类:物理]]

焰色反应

2026-02-24T12:42:38Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“'''焰色反应'''听起来像是一个“化学反应”，但其实它是一个'''物理变化'''！ {{待补充|新页面}} 分类:化学分类:物理”

'''焰色反应'''听起来像是一个“化学反应”，但其实它是一个'''物理变化'''！
{{待补充|新页面}}
[[分类:化学]]
[[分类:物理]]

用户:MM 喵了个

2026-02-18T16:50:57Z

MM 喵了个：

[[文件:家猫.jpg|150px|右|缩略图|替代=家猫头像|家猫]]
<big>喵</big>

我叫 '''MM 喵了个'''！

目前是一名高二（？）学生，目前处于非在校状态。

本体是'''<big>猫</big>'''，副业是站长（

同时也是这个网站的运营！

想要联系我的话可以查看[[高中笔记:关于]]页面来寻求信息。

我来自陕西西安……现在也在陕西西安！

[[文件:成步堂.jpg|缩略图|左|替代=成步堂在用手指证人|成步堂]]

<small>⚠ 注意：被成步堂指到的用户，可能会产生多余的情感。</small>

用户:MM 喵了个

2026-02-18T01:22:08Z

MM 喵了个：添加头像喵

[[文件:家猫.jpg|150px|右|替代=家猫头像|家猫]]
<big>喵</big>

我叫 '''MM 喵了个'''！

目前是一名高二（？）学生，目前处于非在校状态。

本体是'''<big>猫</big>'''，副业是站长（

同时也是这个网站的运营！

想要联系我的话可以查看[[高中笔记:关于]]页面来寻求信息。

我来自陕西西安……现在也在陕西西安！

[[文件:成步堂.jpg|缩略图|左|替代=成步堂在用手指证人|成步堂]]

<small>⚠ 注意：被成步堂指到的用户，可能会产生多余的情感。</small>

文件:家猫.jpg

2026-02-18T01:20:45Z

MM 喵了个：家猫头像

== 摘要 ==
家猫头像

高中笔记:关于

2026-02-10T01:39:45Z

MM 喵了个：更改电子邮件

'''高中笔记'''是一个面向高中生的在线知识共享平台，旨在整理、呈现并分享清晰易懂的学习资料。
我们希望这里能成为一个轻量、开放、可靠的笔记库，帮助学习者更高效地理解和复习课程内容。

本网站基于 MediaWiki 构建，它与维基百科使用相同的软件架构。
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站长用户页：[[用户:MM 喵了个|MM 喵了个]]。

首页

2026-02-10T01:27:39Z

MM 喵了个：啊啊啊不小心忘打冒号啦喵（

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[[文件:迪拉熊：再见！.png|缩略图|替代=迪拉熊|でらっくま]]
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在这里<span style="white-space:nowrap;">整理、编辑、分享<span style="white-space:nowrap;">'''高中课堂笔记'''！</span></span>

编辑前请先查阅[[高中笔记:方针|编辑方针]]。

随便看看？[[特殊:随机|在这里]]可以随机进入一个页面。

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共有 '''{{NUMBEROFARTICLES}}''' 篇笔记、 '''{{PAGESINCAT:典范笔记}}''' 篇[[:分类:典范笔记|典范笔记]]。
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没有头绪？以你所使用的'''[[教材版本|教材]]'''开始吧！
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想参与编辑？请阅读[[高中笔记:方针|编辑方针]]并从简单的补充开始。

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如果发现错误或格式问题，欢迎随时修正。

'''愿你在这里找到属于自己的学习节奏。'''

有关本网站的更多内容，请参见[[高中笔记:关于|关于页面]]。
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首页

2026-02-10T01:26:26Z

MM 喵了个：哎哎谁把我典范笔记给删了（（其实是我自己 w（（

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如果发现错误或格式问题，欢迎随时修正。

'''愿你在这里找到属于自己的学习节奏。'''

有关本网站的更多内容，请参见[[高中笔记:关于|关于页面]]。
</div>
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不等式

2026-02-01T09:15:49Z

MM 喵了个：

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.
{{待补充|一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布}}
== 基本事实 ==

* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

'''由此可总结出'''：
* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==
{| class="wikitable"
|+与二次函数的关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
|-
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
!分布情况
!两个负根即两根都小于 0
<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
!两个正根即两根都大于 0
!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 <math>(a>0)</math>
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
!分布情况
!两个负根即两根都小于 0
!两个正根即两根都大于 0
!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 (a<0)
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}

{{到题库|不等式}}
[[分类:代数]]

杜甫

2026-01-30T12:00:46Z

MM 喵了个：

'''唐代伟大的现实主义诗人'''，被称为“'''诗圣'''”，其作品被誉为“'''诗史'''”。与[[李白]]并称“'''李杜'''”。

诗歌内容广泛，风格沉郁顿挫，关注社会动荡与百姓疾苦。
{{待补充}}
[[分类:古代诗人]]

分类:诗人

2026-01-30T09:07:11Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“分类:语文”

[[分类:语文]]

分类:古代诗人

2026-01-30T09:06:44Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“本分类包含古代诗人的介绍页面分类:诗人”

本分类包含古代诗人的介绍页面
[[分类:诗人]]

杜甫

2026-01-30T09:04:09Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“唐代伟大的现实主义诗人，被称为“诗圣”，其作品被誉为“诗史”。与李白并称“李杜”。诗歌内容广泛，风格沉郁顿挫，关注社会动荡与百姓疾苦。 {{待补充}} 分类:古代诗人”

唐代伟大的现实主义诗人，被称为“诗圣”，其作品被誉为“诗史”。与李白并称“李杜”。诗歌内容广泛，风格沉郁顿挫，关注社会动荡与百姓疾苦。
{{待补充}}
[[分类:古代诗人]]

高中笔记:方针

2026-01-29T14:54:15Z

MM 喵了个：

这是'''高中笔记'''编辑方针。

在这里，你可以'''编写'''、'''查阅'''、'''纠错'''这里的内容；在编写前最好先询问老师相关知识是否正确。

你也可以'''参考'''其他网站来补充笔记（例如 [https://whk-wiki.github.io/whk-wiki/ Whk-wiki] 和 [https://zh.wikibooks.org/ 维基教科书]，请尊重其它网站的著作权，不要复制有版权的文字）。

== 编写规范 ==
高中笔记不是教科书，编写笔记条目时请注意语言规范。

请遵守中华人民共和国法律，发布的内容应当符合社会主义核心价值观，维护国家安全和公共利益，弘扬正能量，促进形成积极健康、向上向善的网络文化。

=== 标准化 ===
==== 中英文混排编辑格式标准 ====
{| class="wikitable"
|-
! 场景 !! 错误示例 ❌ !! 正确示例 ✅ !! 说明
|-
| 中文 + 英文单词 || <code>你好World</code> || <code>你好 World</code> || 中英文单词间需空格
|-
| 中文 + 数字 || <code>价格99元</code> || <code>价格 99 元</code> || 中文与数字间需空格
|-
|-
| 数字 + 单位 || <code>100 km, 5 kg</code> || <code>100km, 5kg</code> || 数字与英文单位间无需空格
|}

复杂场景示例：
{| class="wikitable"
|-
! 错误 ❌ !! 正确 ✅
|-
| <code>请查看PDF第5页。</code> || <code>请查看 PDF 第 5 页。</code>
|-
| <code>我使用iPhone14Pro。</code> || <code>我使用 iPhone 14 Pro。</code>
|-
| <code>登录classnote.top。</code> || <code>登录 classnote.top。</code>（网址视为整体单位）
|}
例外情况：
# '''中文标点'''：全角标点（<code>，。！？；：“”‘’</code>）需紧贴内容<br/>
##✅ 正确：<code>他说：“Hello World！”</code><br/>
##❌ 错误：<code>他说：“ Hello World ！ ”</code>
# '''特殊格式'''：
## 网址：<code>https://classnote.top</code>（内部不拆解）
## 代码：<code><nowiki>print("你好")</nowiki></code>（保持原格式）
## 公式：
### 对于数学公式，请使用 <code><nowiki><math></nowiki></code>标签：<math>A = \pi r^2</math>（符号逻辑优先）
### 对于化学公式，请使用 <code><nowiki><chem></nowiki></code>标签：<chem>MnO4^- + H2C2O4 =\!=\!= CO_2 + Mn^{2+}</chem>

分类命名规范：
{| class="wikitable"
|-
! 分类类型 !! 命名模式 !! 示例 ✅ !! 错误 ❌ !! 说明
|-
| '''主题分类''' || <code>分类:[主题名]</code> || <code>分类:数学</code> || <code>分类:数学类</code> || 直接使用主题名词
|-
| '''子分类''' || <code>分类:[父主题]的[子主题]</code> || <code>分类:代数</code> || <code>分类:数学/代数</code> || 禁止使用斜杠分层
|-
|}
==== 源代码编写标准 ====
空格：
{| class="wikitable"
|-
! 过度空格 ❌ !! 说明
|-
| <code>这是一个极端例子</code> || 中文词内禁止添加空格
|-
| <code>Hello　　World</code> || 英文单词间只允许1个空格
（由于软件会将多个空格合并为一个，此处采用全角空格以展示错误案例）
|-
|}
== 禁止事项 ==
以下内容禁止出现在高中笔记中：
* 侵犯著作权的内容（包括教材原文、教辅原文等）
* 个人隐私、联系方式、广告、推广内容
* 政治敏感、违法违规内容
* 侮辱、攻击、歧视性言论
* 任何形式的考试答案泄露

== 模板使用方法 ==
高中笔记提供了一些常用模板，用于提示、跨站链接、内容标记等。模板的使用方式为：

<code><nowiki>{{模板名|参数1|参数2|…}}</nowiki></code>

常见模板示例：

* <code><nowiki>{{待补充}}</nowiki></code>
** 用于标记内容尚未完善的部分，添加此标签后会将页面划为“[[:分类:待补充页面|待补充页面]]”。

* <code><nowiki>{{到题库|不等式}}</nowiki></code>
** 在笔记页面中提示读者：本节相关习题（示例为“[[不等式]]”）已收录在“高中题库”站点。

模板参数说明：
* 若模板需要参数，请按照模板文档填写，例如：
** <code><nowiki>{{到题库|页面名}}</nowiki></code>，
其中“页面名”为跳转目标。

模板的完整列表可在“[[特殊:所有页面/模板:]]”查看。

氯

2026-01-24T02:37:01Z

MM 喵了个：

'''氯'''元素以化合形式存在。
{{待补充}}
= 氯气 =
== 物理性质 ==
# 颜色：黄绿色；
# 气味：有刺激性气味；
# 密度：比空气大；
# 水溶性：能溶，1 体积的水里可以溶解 2 体积的氯气。
== 化学性质 ==
'''氯气有毒'''，一旦吸入或接触皮肤，会导致氯气和身体组织发生氧化反应，引起中毒。

== 实验室制法 ==
=== 与金属单质反应 ===
# 与钠反应：<math>\mathrm{2Na + CL_2

= 次氯酸 =

= 氯水 =

[[分类:常用元素]]

氯

2026-01-24T02:36:35Z

MM 喵了个：

解三角形

2026-01-20T02:20:14Z

MM 喵了个：

'''解三角形'''指已知三角形的部分边角元素，求解其余边角的过程。
{{待补充|基本定理待补充，另外例题应放到高中题库}}
== 解三角形核心体系 ==
=== 基本定理 ===
（待补充）

=== 万能公式（半角代换） ===
用半角正切统一表示三角函数（适合含复杂角度的方程）：

<math>\begin{align}
\text{正弦：} & \sin A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\
\text{余弦：} & \cos A = \dfrac{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}{1 + \tan^2 \frac{A}{2}} \\
\text{正切：} & \tan A = \dfrac{2\tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^2 \frac{A}{2}}
\end{align}</math>

'''例'''：已知 <math>\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}</math>，求 <math>\cos A</math>

解：<math>\cos A = \dfrac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \dfrac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \dfrac{8/9}{10/9} = 0.8</math>

=== 射影定理与变形 ===
'''射影定理'''（余弦定理的变形）：

<math>\begin{cases}
a = b \cos C + c \cos B \\
b = a \cos C + c \cos A \\
c = a \cos B + b \cos A
\end{cases}</math>

'''几何意义'''：任意边等于邻边在其余边上的投影之和（如图
（图片）

== 题型分类与解法 ==
=== 已知两角及一边（AAS/ASA） ===
'''步骤''':
# 用 <math>A + B + C = 180^\circ</math> 求第三角
# 用正弦定理求另两边

'''例''': <math>B=30^\circ, C=45^\circ, b=4</math>

解：<math>A=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ</math>

<math>a = \dfrac{4 \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 7.72</math>,

<math>c = \dfrac{4 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 5.66</math>

=== 已知两边及夹角（SAS） ===
'''步骤''':
# 用余弦定理求第三边
# 用正弦定理求较小边对角
# 求第三角

'''例''': <math>a=5, b=7, C=60^\circ</math>

解：<math>c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 39 \implies c \approx 6.24</math>

<math>\sin A = \dfrac{5 \sin 60^\circ}{6.24} \approx 0.693 \implies A \approx 44^\circ</math>

<math>B = 180^\circ - 60^\circ - 44^\circ = 76^\circ</math>

=== 已知三边（SSS） ===
'''步骤''':
# 用余弦定理求最大角
# 用正弦定理求另一角
# 求第三角

'''例''': <math>a=3, b=4, c=5</math>

解：<math>\cos C = \dfrac{3^2+4^2-5^2}{2 \times 3 \times 4} = 0 \implies C=90^\circ</math>

<math>\sin A = \dfrac{3 \sin 90^\circ}{5} = 0.6 \implies A \approx 36.87^\circ</math>

<math>B \approx 53.13^\circ</math>

=== 已知两边及一对角（SSA） ===

'''例''': <math>a = \sqrt{2}, b = 2, A = 30^\circ</math>

解：<math>b \sin A = 2 \times 0.5 = 1</math>, ∵ <math>1 < \sqrt{2} < 2</math> ∴ 两解

<math>\sin B = \dfrac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies B_1=45^\circ, B_2=135^\circ</math>

• <math>B_1=45^\circ</math> 时: <math>C_1=105^\circ, c_1 \approx 3.86</math>

• <math>B_2=135^\circ</math> 时: <math>C_2=15^\circ, c_2 \approx 1.04</math>

'''例''': <math>a=7, b=5, c=8</math>

<math>\cos C = \dfrac{7^2+5^2-8^2}{2 \times 7 \times 5} = \dfrac{-10}{70} < 0 \implies \text{钝角三角形}</math>

== 进阶应用 ==
=== 综合例题 ===
'''问题''': 已知 <math>a=6, \sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}, \cos C = \frac{1}{4}</math>，求 <math>c</math> 和面积 <math>S</math>

'''解法''':
# 由 <math>\sin B = \frac{\sqrt{3}}{3}</math> 得 <math>\cos B = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}</math>
# <math>\sin C = \sqrt{1 - (1/4)^2} = \sqrt{15}/4</math>
# 分情况：
## <math>\cos B = \frac{\sqrt{6}}{3}</math> 时：<math>\cos A = -\cos(B+C) = -(\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{ -\sqrt{6} + 3\sqrt{5} }{12}</math>
## <math>\cos B = -\frac{\sqrt{6}}{3}</math> 时：<math>\cos A = -(-\frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}) = \frac{ \sqrt{6} + 3\sqrt{5} }{12}</math>
# 两种情形 <math>\cos A > 0</math> → '''两解'''
# 分别用 <math>c = a \dfrac{\sin C}{\sin A}</math> 和 <math>S = \frac{1}{2} ac \sin B</math> 计算

=== 常用三角恒等式 ===
* 内角和恒等：<math>\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C</math>
* 边角互化：<math>a + b = 2R (\sin A + \sin B)</math>
* 和差公式：<math>\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B</math>
* 二倍角：<math>\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A = 2\cos^2 A - 1</math>

=== 典型错误 ===
* '''SSA多解陷阱'''：当 <math>\angle A < 90^\circ</math> 且 <math>b \sin A < a < b</math> 时必有两解
* '''钝角判断错误'''：当 <math>\cos \theta < 0</math> 时角为钝角（非锐角）
* '''计算器模式'''：确保设置为角度制（DEG）而非弧度制（RAD）
* '''海伦公式验证'''：使用前需满足三角不等式 <math>a+b>c</math>

[[分类:三角函数]]

教材版本

2026-01-20T01:48:06Z

MM 喵了个：

（如果没有你所寻找的版本的话请帮助添加，谢谢啦！另外请按照学科分类！）
{{待补充}}
== 语文 ==

== 数学 ==
[[人教A版]]、[[人教B版]]、[[北师大版数学|北师大版]]、[[苏教版数学|苏教版]]、[[鄂教版数学|鄂教版]]、[[湘教版数学|湘教版]]、[[沪教版数学|沪教版]]

== 英语 ==

== 物理 ==

== 化学 ==
[[人教版化学|人教版]]

== 生物 ==

== 历史 ==

== 政治 ==

== 地理 ==

核酸

2026-01-19T09:34:06Z

MM 喵了个：/* 核苷酸 */ 标准化

生物体内携带遗传信息的大分子物质。
== 概述 ==
'''核酸'''是生物体内携带'''遗传信息'''的大分子物质，是生命的最基本物质之一。

根据所含五碳糖的不同，主要分为'''脱氧核糖核酸 (DNA)''' 和 '''核糖核酸 (RNA)''' 两大类。

== 脱氧核糖核酸 ==
简称 '''DNA'''，
* '''主要分布'''：主要存在于'''细胞核'''（染色体上），线粒体和叶绿体中也有少量。
* '''结构特点'''：通常由'''两条脱氧核苷酸链'''组成，形成规则的双螺旋结构。两条链上的碱基通过'''氢键'''按'''碱基互补配对原则'''（A-T, C-G）连接。
* '''功能'''：是生物体主要的'''遗传物质'''，负责储存、复制和传递遗传信息。

== 核糖核酸 ==
简称 '''RNA'''，
* '''主要分布'''：主要存在于'''细胞质'''中，细胞核内（主要在核仁）也有分布。
* '''结构特点'''：通常由'''一条核糖核苷酸链'''组成，链可以折叠形成局部双链结构（如 tRNA 的三叶草结构）。
* '''功能'''：根据功能主要分为三类：
** '''信使 RNA (mRNA)'''：携带 DNA 的遗传信息（密码子），作为蛋白质合成的模板。
** '''转运 RNA (tRNA)'''：识别 mRNA 上的密码子并转运相应的氨基酸到核糖体。
** '''核糖体 RNA (rRNA)'''：与蛋白质结合形成核糖体，是蛋白质合成的场所。

=== 由 DNA 转录为 RNA ===
以 DNA 的一条链为模板，按照碱基互补配对原则，合成 RNA。

== 含氮碱基 ==
脱氧核糖核酸和核糖核酸各含 4 种碱基，二者所含碱基种类有所不同。
* '''DNA 中的碱基'''：
** '''腺嘌呤 (A)'''
** '''鸟嘌呤 (G)'''
** '''胞嘧啶 (C)'''
** '''胸腺嘧啶 (T)'''
* '''RNA 中的碱基'''：
** '''腺嘌呤 (A)'''
** '''鸟嘌呤 (G)'''
** '''胞嘧啶 (C)'''
** '''尿嘧啶 (U)'''（取代了 DNA 中的 T）
* '''碱基分类'''：
** '''嘌呤'''：腺嘌呤 (A)、鸟嘌呤 (G)（双环结构）
** '''嘧啶'''：胞嘧啶 (C)、胸腺嘧啶 (T)、尿嘧啶 (U)（单环结构）

== 核苷酸 ==
* 核酸（DNA 和 RNA）是由许多'''核苷酸'''连接而成的长链（多聚核苷酸链）。
* 一个核苷酸由三部分组成：
** '''磷酸基团'''（<chem>-PO4^{3-}</chem>）
** '''五碳糖'''：在 DNA 中是'''脱氧核糖'''，在 RNA 中是'''核糖'''。
** '''含氮碱基'''：连接在五碳糖的 1' 碳原子上（见碱基列表）。
* 核苷酸之间通过'''磷酸二酯键'''连接，即一个核苷酸的磷酸基团与下一个核苷酸的五碳糖的 3' 碳原子相连。

[[分类:生物学]]

核酸

2026-01-19T09:33:10Z

MM 喵了个：

生物体内携带遗传信息的大分子物质。
== 概述 ==
'''核酸'''是生物体内携带'''遗传信息'''的大分子物质，是生命的最基本物质之一。

根据所含五碳糖的不同，主要分为'''脱氧核糖核酸 (DNA)''' 和 '''核糖核酸 (RNA)''' 两大类。

== 脱氧核糖核酸 ==
简称 '''DNA'''，
* '''主要分布'''：主要存在于'''细胞核'''（染色体上），线粒体和叶绿体中也有少量。
* '''结构特点'''：通常由'''两条脱氧核苷酸链'''组成，形成规则的双螺旋结构。两条链上的碱基通过'''氢键'''按'''碱基互补配对原则'''（A-T, C-G）连接。
* '''功能'''：是生物体主要的'''遗传物质'''，负责储存、复制和传递遗传信息。

== 核糖核酸 ==
简称 '''RNA'''，
* '''主要分布'''：主要存在于'''细胞质'''中，细胞核内（主要在核仁）也有分布。
* '''结构特点'''：通常由'''一条核糖核苷酸链'''组成，链可以折叠形成局部双链结构（如 tRNA 的三叶草结构）。
* '''功能'''：根据功能主要分为三类：
** '''信使 RNA (mRNA)'''：携带 DNA 的遗传信息（密码子），作为蛋白质合成的模板。
** '''转运 RNA (tRNA)'''：识别 mRNA 上的密码子并转运相应的氨基酸到核糖体。
** '''核糖体 RNA (rRNA)'''：与蛋白质结合形成核糖体，是蛋白质合成的场所。

=== 由 DNA 转录为 RNA ===
以 DNA 的一条链为模板，按照碱基互补配对原则，合成 RNA。

== 含氮碱基 ==
脱氧核糖核酸和核糖核酸各含 4 种碱基，二者所含碱基种类有所不同。
* '''DNA 中的碱基'''：
** '''腺嘌呤 (A)'''
** '''鸟嘌呤 (G)'''
** '''胞嘧啶 (C)'''
** '''胸腺嘧啶 (T)'''
* '''RNA 中的碱基'''：
** '''腺嘌呤 (A)'''
** '''鸟嘌呤 (G)'''
** '''胞嘧啶 (C)'''
** '''尿嘧啶 (U)'''（取代了 DNA 中的 T）
* '''碱基分类'''：
** '''嘌呤'''：腺嘌呤 (A)、鸟嘌呤 (G)（双环结构）
** '''嘧啶'''：胞嘧啶 (C)、胸腺嘧啶 (T)、尿嘧啶 (U)（单环结构）

== 核苷酸 ==
* 核酸（DNA 和 RNA）是由许多'''核苷酸'''连接而成的长链（多聚核苷酸链）。
* 一个核苷酸由三部分组成：
# '''磷酸基团'''（<chem>-PO4^{3-}</chem>）
# '''五碳糖'''：在 DNA 中是'''脱氧核糖'''，在 RNA 中是'''核糖'''。
# '''含氮碱基'''：连接在五碳糖的 1' 碳原子上（见碱基列表）。
* 核苷酸之间通过'''磷酸二酯键'''连接，即一个核苷酸的磷酸基团与下一个核苷酸的五碳糖的 3' 碳原子相连。

[[分类:生物学]]

高中笔记:方针

2026-01-19T08:38:04Z

MM 喵了个：修正笔误

这是'''高中笔记'''编辑方针。

在这里，你可以'''编写'''、'''查阅'''、'''纠错'''这里的内容；在编写前最好先询问老师相关知识是否正确。

你也可以'''参考'''其他网站来补充笔记（例如 [https://whk-wiki.github.io/whk-wiki/ Whk-wiki] 和 [https://zh.wikibooks.org/ 维基教科书]，请尊重其它网站的著作权，不要复制有版权的文字）。

== 编写规范 ==
高中笔记不是教科书，编写笔记条目时请注意语言规范。

请遵守中华人民共和国法律，发布的内容应当符合社会主义核心价值观，维护国家安全和公共利益，弘扬正能量，促进形成积极健康、向上向善的网络文化。

=== 标准化 ===
==== 中英文混排编辑格式标准 ====
{| class="wikitable"
|-
! 场景 !! 错误示例 ❌ !! 正确示例 ✅ !! 说明
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| 中文 + 数字 || <code>价格99元</code> || <code>价格 99 元</code> || 中文与数字间需空格
|-
| 英文 + 中文 || <code>Hello世界</code> || <code>Hello 世界</code> || 英文与中文间需空格
|-
| 数字 + 单位 || <code>100 km, 5 kg</code> || <code>100km, 5kg</code> || 数字与英文单位间无需空格
|}

复杂场景示例：
{| class="wikitable"
|-
! 错误 ❌ !! 正确 ✅
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| <code>请查看PDF第5页。</code> || <code>请查看 PDF 第 5 页。</code>
|-
| <code>我使用iPhone14Pro。</code> || <code>我使用 iPhone 14 Pro。</code>
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| <code>登录classnote.top。</code> || <code>登录 classnote.top。</code>（网址视为整体单位）
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例外情况：
# '''中文标点'''：全角标点（<code>，。！？；：“”‘’</code>）需紧贴内容<br/>
##✅ 正确：<code>他说：“Hello World！”</code><br/>
##❌ 错误：<code>他说：“ Hello World ！ ”</code>
# '''特殊格式'''：
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## 代码：<code><nowiki>print("你好")</nowiki></code>（保持原格式）
## 公式：
### 对于数学公式，请使用 <code><nowiki><math></nowiki></code>标签：<math>A = \pi r^2</math>（符号逻辑优先）
### 对于化学公式，请使用 <code><nowiki><chem></nowiki></code>标签：<chem>MnO4^- + H2C2O4 =\!=\!= CO_2 + Mn^{2+}</chem>

分类命名规范：
{| class="wikitable"
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! 分类类型 !! 命名模式 !! 示例 ✅ !! 错误 ❌ !! 说明
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==== 源代码编写标准 ====
空格：
{| class="wikitable"
|-
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| <code>这是一个极端例子</code> || 中文词内禁止添加空格
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== 禁止事项 ==
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== 模板使用方法 ==
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常见模板示例：

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模板参数说明：
* 若模板需要参数，请按照模板文档填写，例如：
** <code><nowiki>{{到题库|页面名}}</nowiki></code>，
其中“页面名”为跳转目标。

模板的完整列表可在“[[特殊:所有页面/模板:]]”查看。

高中笔记:方针

2026-01-19T08:37:32Z

MM 喵了个：修正笔误

这是'''高中笔记'''编辑方针。

在这里，你可以'''编写'''、'''查阅'''、'''纠错'''这里的内容；在编写前最好先询问老师相关知识是否正确。

你也可以'''参考'''其他网站来补充笔记（例如 [https://whk-wiki.github.io/whk-wiki/ Whk-wiki] 和 [https://zh.wikibooks.org/ 维基教科书]，请尊重其它网站的著作权，不要复制有版权的文字）。

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高中笔记不是教科书，编写笔记条目时请注意语言规范。

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{| class="wikitable"
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## 公式：
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### 对于化学公式，请使用 <code><nowiki><chem></nowiki></code>标签：<chem>MnO4^- + H2C2O4 =\!=\!= CO_2 + Mn^{2+}</chem>

分类命名规范：
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! 分类类型 !! 命名模式 !! 示例 ✅ !! 错误 ❌ !! 说明
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==== 源代码编写标准 ====
空格：
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高中笔记:方针

2026-01-19T08:36:40Z

MM 喵了个：修正笔误

这是'''高中笔记'''编辑方针。

在这里，你可以'''编写'''、'''查阅'''、'''纠错'''这里的内容；在编写前最好先询问老师相关知识是否正确。

你也可以'''参考'''其他网站来补充笔记（例如 [https://whk-wiki.github.io/whk-wiki/ Whk-wiki] 和 [https://zh.wikibooks.org/ 维基教科书]，请尊重其它网站的著作权，不要复制有版权的文字）。

== 编写规范 ==
高中笔记不是教科书，编写笔记条目时请注意语言规范。

请遵守中华人民共和国法律，发布的内容应当符合社会主义核心价值观，维护国家安全和公共利益，弘扬正能量，促进形成积极健康、向上向善的网络文化。

=== 标准化 ===
==== 中英文混排编辑格式标准 ====
{| class="wikitable"
|-
! 场景 !! 错误示例 ❌ !! 正确示例 ✅ !! 说明
|-
| 中文 + 英文单词 || <code>你好World</code> || <code>你好 World</code> || 中英文单词间需空格
|-
| 中文 + 数字 || <code>价格99元</code> || <code>价格 99 元</code> || 中文与数字间需空格
|-
| 英文 + 中文 || <code>Hello世界</code> || <code>Hello 世界</code> || 英文与中文间需空格
|-
| 数字 + 单位 || <code>100 km, 5 kg</code> || <code>100km, 5kg</code> || 数字与英文单位间无需空格
|}

复杂场景示例：
{| class="wikitable"
|-
! 错误 ❌ !! 正确 ✅
|-
| <code>请查看PDF第5页。</code> || <code>请查看 PDF 第 5 页。</code>
|-
| <code>我使用iPhone14Pro。</code> || <code>我使用 iPhone 14 Pro。</code>
|-
| <code>登录classnote.top。</code> || <code>登录 classnote.top。</code>（网址视为整体单位）
|}
例外情况：
# '''中文标点'''：全角标点（<code>，。！？；：“”‘’</code>）需紧贴内容<br/>
##✅ 正确：<code>他说：“Hello World！”</code><br/>
##❌ 错误：<code>他说：“ Hello World ！ ”</code>
# '''特殊格式'''：
## 网址：<code>https://classnote.top</code>（内部不拆解）
## 代码：<code><nowiki>print("你好")</nowiki></code>（保持原格式）
## 公式：
### 对于数学公式，请使用 <code><nowiki><math></nowiki></code>标签：<math>A = \pi r^2</math>（符号逻辑优先）
### 对于化学公式，请使用 <code><nowiki><chem></nowiki></code>标签：<chem>MnO4^- + H2C2O4 =\!=\!= CO_2 + Mn^{2+}</chem>

分类命名规范：
{| class="wikitable"
|-
! 分类类型 !! 命名模式 !! 示例 ✅ !! 错误 ❌ !! 说明
|-
| '''主题分类''' || <code>分类:[主题名]</code> || <code>分类:数学</code> || <code>分类:数学类</code> || 直接使用主题名词
|-
| '''子分类''' || <code>分类:[父主题]的[子主题]</code> || <code>分类:代数</code> || <code>分类:数学/代数</code> || 禁止使用斜杠分层
|-
|}
==== 源代码编写标准 ====
空格：
{| class="wikitable"
|-
! 过度空格 ❌ !! 说明
|-
| <code>这是一个极端例子</code> || 中文词内禁止添加空格
|-
| <code>Hello　　World</code> || 英文单词间只允许1个空格
（由于软件会将多个空格合并为一个，此处采用全角空格以展示错误案例）
|-
|}
== 禁止事项 ==
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铁

2026-01-19T08:09:14Z

MM 喵了个：标准化

<big>'''铁'''</big>，符号 <big><chem>Fe</chem></big>，是一种金属元素。
=== 存在 ===
# '''游离态'''：以单质的形态存在于'''陨铁'''中；
# '''化合态'''：主要以 <math>+2</math> 价和 <math>+3</math> 价'''化合物'''的形态存在于'''矿石'''中。
=== 含量 ===
铁元素在地壳中的含量仅次于氧、硅和铝，居第四位。
== 单质 ==
== 物理性质 ==
* '''颜色状态'''：银白色固体（铁粉为黑色）；
* '''导热性与延展性'''：良好；
* '''导电性'''：不如银、铜和铝；
* '''熔沸点'''：高；
* '''特性'''：被磁体吸引。
== 化学性质 ==
* '''与氯气反应'''：<chem>3Fe + 2Cl2 \overset{\text{点燃}}{=\!=\!=} 2FeCl3</chem>
* '''与氧气反应'''：<chem>3Fe + 2O2 \overset{\text{点燃}}{=\!=\!=} Fe3O4</chem>
* '''与硫反应'''：<chem>Fe + S \overset{\Delta}{=\!=\!=} FeS</chem>
* <big>'''与水蒸气反应'''：<chem>3Fe + 4H2O(g) \overset{\text{高温}}{=\!=\!=} Fe3O4 + 4H2</chem></big>
* '''与盐酸反应'''：<chem>Fe + 2HCl =\!=\!= FeCl2 + H2\uparrow</chem>
** '''离子方程式'''：<chem>Fe + 2H^+ =\!=\!= Fe^{2+} + H2\uparrow</chem>
* '''与铜离子反应'''：<chem>Fe + Cu^{2+} =\!=\!= Fe^{2+} + Cu\uparrow</chem>

== 重要化合物 ==
{| class="wikitable"
|+对比氧化铁、氧化亚铁和四氧化三铁
!
!<chem>Fe2O3</chem>
!<chem>FeO</chem>
!<chem>Fe3O4</chem>
|-
|名称
|氧化铁
|氧化亚铁
|四氧化三铁
|-
|俗名
|铁红
| -
|磁性氧化铁
|-
|色态
|红棕色粉末
|黑色粉末
|黑色晶体
|-
|溶解性
| colspan="3" |不溶于水
|-
|铁的化合价
| <math>+3</math>
| <math>+2</math>
| <math>+2 \text{和} +3</math>
|-
|氧化物类别
| colspan="2" |碱性氧化物
|特殊氧化物
|}
[[分类:常用元素]]

铁

2026-01-19T08:07:24Z

MM 喵了个：更正标签

<big>'''铁'''</big>，符号 <big><chem>Fe</chem></big>，是一种金属元素。
=== 存在 ===
# '''游离态'''：以单质的形态存在于'''陨铁'''中；
# '''化合态'''：主要以 <math>+2</math> 价和 <math>+3</math> 价'''化合物'''的形态存在于'''矿石'''中。
=== 含量 ===
铁元素在地壳中的含量仅次于氧、硅和铝，居第四位。
== 单质 ==
== 物理性质 ==
* 颜色状态：银白色固体（铁粉为黑色）；
* 导热性与延展性：良好；
* 导电性：不如银、铜和铝；
* 熔沸点：高；
* 特性：被磁体吸引。
== 化学性质 ==
# 与氯气反应：<chem>3Fe + 2Cl2 \overset{\text{点燃}}{=\!=\!=} 2FeCl3</chem>
# 与氧气反应：<chem>3Fe + 2O2 \overset{\text{点燃}}{=\!=\!=} Fe3O4</chem>
# 与硫反应：<chem>Fe + S \overset{\Delta}{=\!=\!=} FeS</chem>
# '''<big>与水蒸气反应：<chem>3Fe + 4H2O(g) \overset{\text{高温}}{=\!=\!=} Fe3O4 + 4H2</chem></big>'''
# 与盐酸反应：<chem>Fe + 2HCl =\!=\!= FeCl2 + H2\uparrow</chem>
* 离子方程式：<chem>Fe + 2H^+ =\!=\!= Fe^{2+} + H2\uparrow</chem>
* 与铜离子反应：<chem>Fe + Cu^{2+} =\!=\!= Fe^{2+} + Cu\uparrow</chem>

== 重要化合物 ==
{| class="wikitable"
|+对比氧化铁、氧化亚铁和四氧化三铁
!
!<chem>Fe2O3</chem>
!<chem>FeO</chem>
!<chem>Fe3O4</chem>
|-
|名称
|氧化铁
|氧化亚铁
|四氧化三铁
|-
|俗名
|铁红
| -
|磁性氧化铁
|-
|色态
|红棕色粉末
|黑色粉末
|黑色晶体
|-
|溶解性
| colspan="3" |不溶于水
|-
|铁的化合价
| <math>+3</math>
| <math>+2</math>
| <math>+2 \text{和} +3</math>
|-
|氧化物类别
| colspan="2" |碱性氧化物
|特殊氧化物
|}
[[分类:常用元素]]

分类:学科

2026-01-19T08:01:10Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“这里包含高中笔记所有学科分类。”

这里包含高中笔记所有学科分类。

分类:常用元素

2026-01-19T07:59:11Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“包含一些常用的化学元素。分类:元素化学”

包含一些常用的化学元素。
[[分类:元素化学]]

钠

2026-01-19T07:58:23Z

MM 喵了个：

<big>'''钠'''</big>，符号 <big><chem>Na</chem></big>，是一种金属元素。

钠要保存在石蜡油或煤油中，隔绝空气。

== 物理性质 ==
* 颜色：'''<big>银白色</big>'''，有'''金属光泽'''；
* 密度：比水的密度小；
* 熔点：较低；
* 硬度：质地很软，能用小刀切割。

== 化学性质 ==
原子结构示意图为：（+11）)2 )8 )1

容易失去一个电子形成相对稳定结构 <chem>Na^+</chem>：（+11）)2 )8

=== 钠与其它物质反应 ===
==== 钠与水反应 ====
钠的性质非常活泼，能与水发生剧烈反应，放出热量，反应后的溶液显碱性。

<chem>2Na + 2H2O = 2NaOH + H2\uparrow</chem>
* 离子方程式为：<chem>2Na + 2H2O = 2Na^+ + 2OH^- + H2\uparrow</chem>
反应现象：

* '''浮'''在水面上；
** 钠的密度比水小。
* '''熔'''化成一个小球（放热反应）；
** 钠的熔点低。
* 四处'''游'''动；
** 有气体（氢气）生成。
* 发出嘶嘶的'''响'''声；
** 反应产生大量氢气，裹有氢气的水泡在出水的一刻炸裂，形成尖锐的爆鸣声。
* 溶液变'''红'''（滴加酚酞后）.
** 钠和水反应生成碱性物质（氢氧化钠），滴加无色酚酞溶液后显红色

总结出一句话：'''浮熔游响红'''。

==== 钠与盐酸、稀硫酸等反应（实质与 <chem>H^+</chem> 反应） ====
钠会先与酸反应，如果过量，再与水反应。

<chem>2Na + 2H^+ = 2Na^+ + H2\uparrow</chem> （钠过量时与水反应）

==== 钠与盐溶液反应 ====
一般考虑钠先与水反应，生成氢氧化钠后再与盐发生复分解反应。

例如 <chem>Na</chem> 和 <chem>CuSO4</chem> 溶液反应：

# <chem>2Na + 2H2O = 2NaOH + H2\uparrow</chem>
# <chem>2NaOH + CuSO4 = Cu(OH)2\downarrow + Na2SO4 + H2\uparrow</chem>
* 总反应：<chem>2Na + 2H2O + CuSO4 = Cu(OH)2\downarrow + Na2SO4 + H2\uparrow</chem>

== 制取、保存和用途 ==
# 制取：<chem>2NaCl \text{(熔融)} \overset{\text{通电}}{=\!=\!=} 2Na + Cl2\uparrow</chem>
# 保存：密封保存在煤油或石蜡油中；
# 用途：
## 钠钾合金（液态）可用于原子反应堆；
## 用作电光源；
## 冶炼某些金属等。

== 钠的化合物 ==
=== 氧化钠和过氧化钠 ===
==== 氧化钠 ====

钠在空气中与氧气反应生成'''氧化钠'''：

<chem>4Na + O2 = 2Na2O</chem>

因此，在实验室中，钠要保存在石蜡油或煤油中，隔绝空气。

* 颜色：白色。
* 用途：制氢氧化钠

===== 与其它物质反应 =====
# 与水反应 <chem>Na2O + H2O = 2NaOH</chem>
# 与二氧化碳反应 <chem>Na2O + CO2 = Na2CO3</chem>
# 与二氧化硫反应 <chem>Na2O + SO2 = Na2SO3</chem>
# 与盐酸反应 <chem>Na2O + 2HCl = 2NaCl + H2O</chem>

==== 过氧化钠 ====

钠在'''加热'''条件下和氧气反应生成'''过氧化钠'''：

<chem>2Na + O2 \overset{\Delta}{=\!=\!=} Na2O2</chem>

钠受热后先'''熔'''化，然后与氧气发生剧烈反应，'''发出黄色火焰'''，'''生成一种淡黄色固体''' <chem>Na2O2</chem>。

* 颜色：淡黄色。
* 用途：强氧化剂、供氧剂、漂白剂

===== 与其它物质反应 =====
# 与水反应 <chem>2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2\uparrow</chem>
# 与二氧化碳反应 <chem>2Na2O2 + 2CO2 = 2Na2CO3 + O2\uparrow</chem>
# 与二氧化硫反应 <chem>Na2O2 + SO2 = Na2SO4</chem>
# 与盐酸反应 <chem>2Na2O2 + 4HCl = 4NaCl + 2H2O + O2\uparrow</chem>
* 以上均为放热反应。

<big>'''二者转化：'''<chem>2Na2O + O2 \overset{\Delta}{=\!=\!=} 2Na2O2</chem></big>

=== 碳酸钠和碳酸氢钠 ===
'''碳酸钠''' <chem>Na2CO3</chem>，俗称'''苏打'''。

* 白色粉末。
* 很稳定，受热不容易发生分解。

'''碳酸氢钠''' <chem>NaHCO3</chem>，俗称'''小苏打'''。

* 细小的白色晶体。
*很不稳定，受热容易发生分解：
碳酸氢钠反应生成碳酸钠（固体状态）：<chem>2NaHCO3 \overset{\Delta}{=\!=\!=} Na2CO3 + H2O + CO2\uparrow</chem>
* 可以利用加热的方法来鉴别碳酸钠和碳酸氢钠。
* 溶解性：<chem>Na2CO3 > NaHCO3</chem>
* 等浓度溶液碱性：<chem>Na2CO3 > NaHCO3</chem>
* 与等浓度盐酸反应剧烈程度：<chem>Na2CO3 < NaHCO3</chem>
* 热稳定性：<chem>Na2CO3 > NaHCO3</chem>

碳酸钠反应生成碳酸氢钠（溶液中）：<chem>Na2CO3 + CO2 + H2O = 2NaHCO3</chem>
* 离子方程式为：<chem>CO3^{2-} + CO2 + H2O = 2HCO3^-</chem>

==== 鉴别方法 ====

*利用热稳定性的不同
加热固体，产生能使澄清石灰水变浑浊气体的是<chem>NaHCO3</chem>，没有明显变化的是<chem>Na2CO3</chem>。
*利用和酸反应时生成气体的速率不同（相同条件下）
滴加盐酸立即产生气泡的是 <chem>NaHCO3</chem>，开始不产生气泡的是 <chem>Na2CO3</chem>
*利用两溶液的酸碱性不同
将 <chem>Na2CO3</chem> 和 <chem>NaHCO3</chem> 配成相同浓度的溶液，测定二者的 pH 值，pH 值较大的是 <chem>Na2CO3</chem>，pH 值较小的是 <chem>NaHCO3</chem>，或滴加无色酚酞，红色深的是 <chem>Na2CO3</chem>，浅的是<chem>NaHCO3</chem>。

==== 除杂方法（提纯） ====
{| class="wikitable"
|+<chem>Na2CO3</chem> 与 <chem>NaHCO3</chem> 的提纯
|混合物（括号内为杂质）
|除杂方法及试剂
|-
|<chem>Na2CO3</chem> 固体 (<chem>NaHCO3</chem>)
|加热
|-
|<chem>NaHCO3</chem> 溶液 (<chem>Na2CO3</chem>)
|通入足量 <chem>CO2</chem> 气体
|-
|<chem>Na2CO3</chem> 溶液 (<chem>NaHCO3</chem>)
|加入适量 <chem>NaOH</chem> 溶液
|}

{| class="wikitable"
|+对比 <chem>Na2CO3</chem> 和 <chem>NaHCO3</chem>
|
|碳酸钠
|碳酸氢钠
|-
|俗名
|纯碱、苏打
|小苏打
|-
|色态
|白色粉末
|白色细小晶体
|-
|溶解性
|易溶于水
|能溶于水
|-
|热稳定性
|稳定，受热难分解
|不稳定，受热易分解
|-
|与足量盐酸反应
|<chem>Na2CO3 + 2HCl = 2NaCl + CO2\uparrow + H2O</chem>
|<chem>NaHCO3 + HCl = NaCl + CO2\uparrow + H2O</chem>
|-
|与 <chem>NaOH</chem> 反应
| -
|<chem>NaOH + NaHCO3 = Na2CO3 + H2O</chem>
|-
| rowspan="2" |与 <chem>Ca(OH)2</chem> 溶液反应
| rowspan="2" |<chem>Na2CO3 + Ca(OH)2 = CaCO3\downarrow + 2NaOH</chem>
|少量 <chem>NaHCO3</chem> 时：<chem>NaHCO3 + Ca(OH)2 = CaCO3\downarrow + NaOH + H2O</chem>
|-
|过量 <chem>NaHCO3</chem> 时：<chem>2NaHCO3 + Ca(OH)2 = CaCO3\downarrow + Na2CO3 + 2H2O</chem>
|-
|与 <chem>CaCl2</chem> 反应
|<chem>Na2CO3 + CaCl2 = CaCO3\downarrow + 2NaCl</chem>
| -
|}

[[分类:常用元素]][[分类:典范笔记]]

铁

2026-01-19T07:58:15Z

MM 喵了个：

<big>'''铁'''</big>，符号 <big><chem>Fe</chem></big>，是一种金属元素。
=== 存在 ===
# '''游离态'''：以单质的形态存在于'''陨铁'''中；
# '''化合态'''：主要以 <math>+2</math> 价和 <math>+3</math> 价'''化合物'''的形态存在于'''矿石'''中。
=== 含量 ===
铁元素在地壳中的含量仅次于氧、硅和铝，居第四位。
== 单质 ==
== 物理性质 ==
* 颜色状态：银白色固体（铁粉为黑色）；
* 导热性与延展性：良好；
* 导电性：不如银、铜和铝；
* 熔沸点：高；
* 特性：被磁体吸引。
== 化学性质 ==
# 与氯气反应：<math>\mathrm{3Fe + 2Cl_2 \overset{点燃}{=} 2FeCl_3}</math>
# 与氧气反应：<math>\mathrm{3Fe + 2O_2 \overset{点燃}{=} Fe_3O_4}</math>
# 与硫反应：<math>\mathrm{Fe + S \overset{\Delta}{=} FeS}</math>
# '''<big>与水蒸气反应：<math>\mathrm{3Fe + 4H_2O(g) \overset{高温}{=} Fe_3O_4 + 4H_2}</math></big>'''
# 与盐酸反应：<math>\mathrm{Fe + 2HCl = FeCl_2 + H_2 \uparrow}</math>
* 离子方程式：<math>\mathrm{Fe + 2H^+ = Fe^{2+} + H_2 \uparrow}</math>
* 与铜离子反应：<math>\mathrm{Fe + Cu^{2+} = Fe^{2+} + Cu \uparrow}</math>

== 重要化合物 ==
{| class="wikitable"
|+对比氧化铁、氧化亚铁和四氧化三铁
!
!<chem>Fe2O3</chem>
!<chem>FeO</chem>
!<chem>Fe3O4</chem>
|-
|名称
|氧化铁
|氧化亚铁
|四氧化三铁
|-
|俗名
|铁红
| -
|磁性氧化铁
|-
|色态
|红棕色粉末
|黑色粉末
|黑色晶体
|-
|溶解性
| colspan="3" |不溶于水
|-
|铁的化合价
| <math>+3</math>
| <math>+2</math>
| <math>+2 \text{和} +3</math>
|-
|氧化物类别
| colspan="2" |碱性氧化物
|特殊氧化物
|}
[[分类:常用元素]]

钠

2026-01-19T07:56:06Z

MM 喵了个：

函数解析式求法

2026-01-19T07:47:02Z

MM 喵了个：创建页面，内容为“用已知的信息来求函数解析式。 === 替换法 === 简单题如： <blockquote> 已知 <math>f(x+1)=x^2</math>，求 <math>f(x)</math> 的解析式. </blockquote> 可把 <math>f(x+1)=x^2</math> 中的 <math>x</math> 换成 <math>x-1</math>，得 <math>f(x)=(x-1)^2</math>. === 配凑法 === <blockquote> 原函数表达式为 <math>f(t)=g(x)</math>，<math>t</math> 是关于 <math>x</math> 的式子，求 <math>f(x)</math> 的解析式 </blockquote> 这…”

用已知的信息来求函数解析式。
=== 替换法 ===
简单题如：
<blockquote>
已知 <math>f(x+1)=x^2</math>，求 <math>f(x)</math> 的解析式.
</blockquote>
可把 <math>f(x+1)=x^2</math> 中的 <math>x</math> 换成 <math>x-1</math>，得 <math>f(x)=(x-1)^2</math>.
=== 配凑法 ===
<blockquote>
原函数表达式为 <math>f(t)=g(x)</math>，<math>t</math> 是关于 <math>x</math> 的式子，求 <math>f(x)</math> 的解析式
</blockquote>
这时要把 <math>g(x)</math> 通过变形、整理，使其变为只含 <math>t</math> 与常数的式子，然后将 <math>t</math> 换成 <math>x</math>，即可得到 <math>f(x)</math> 的解析式.

=== 换元法 ===
把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

<blockquote>
<math>f(g(x))=\varphi (x)</math>，求 <math>f(x)</math> 的表达式.
</blockquote>

令 <math>t=g(x)</math>，从中解出 <math>x=h(t)</math>，代入右边 <math>\varphi(x)</math> 整理可得 <math>f(t)</math> 的表达式.
* 注意自变量 <math>t</math> 的取值范围是函数 <math>t=g(x)</math> 的值域，不是已知条件中 <math>x</math> 的取值范围.

=== 待定系数法 ===
使用字母来表示确定的系数.

<blockquote>
已知 <math>f(x)</math> 是一次函数，且 <math>f(f(x))=4x-1</math>，求 <math>f(x)</math>
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，那么 <math>f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x-1</math>

→ <math>k^2+kb+b=4x-1</math>

可解得 <math>f(x)</math> 的表达式，为 <math>f(x)=2x-\frac{1}{3}</math> 或 <math>f(x)=-2x+1</math>.

=== 解方程组法 ===
又称'''消元法'''，常用于已知多个条件、多个函数值，要求出函数解析式的情况.

把题目给出的条件写成关于未知函数的方程组，通过代入、消元等方式求出函数的解析式.

<blockquote>
已知函数 <math>f(x)</math> 满足
<math>\begin{cases}
f(1)=3 \\
f(2)=5
\end{cases}</math>
且 <math>f(x)</math> 是一次函数，求 <math>f(x)</math>.
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，代入条件得
<math>\begin{cases}
k+b=3 \\
2k+b=5
\end{cases}</math>

解得 <math>k=2, \; b=1</math>，
所以 <math>f(x)=2x+1</math>。

=== 赋值法 ===
又称'''特殊值法'''，适用于函数表达式较复杂、但可以通过代入特殊值来简化计算的情况.

选择合适的 <math>x</math> 值，使表达式大幅简化，从而求出未知量.

<blockquote>
已知 <math>f(x)+f(2-x)=x</math>，求 <math>f(x)</math>。
</blockquote>

令 <math>x=2</math>，得
<math>f(2)+f(0)=2</math> ……①

令 <math>x=0</math>，得
<math>f(0)+f(2)=0</math> ……②

由①②联立可得
<math>f(2)=1,\; f(0)=-1</math>

再将 <math>x</math> 代回原式整理，可求得一般形式的 <math>f(x)</math>。

[[分类:数学]]

分类:函数

2026-01-19T07:45:56Z

MM 喵了个：/* 求解析式 */

分类:函数

2026-01-19T07:44:30Z

MM 喵了个：修正笔误

[[文件:Y=sin(x) 图像.png|缩略图|右|替代=正弦函数图像示意，y=sin(x) 的图像|正弦函数图像示意]]
描述自变量与因变量之间的依赖关系。
== 定义 ==

# 设 <math>A, B</math> 是'''非空的数集'''，
# 如果对于'''集合 <math>A</math>''' 中任意一个数 <math>x</math>，
# 按照'''某种确定的对应关系 <math>f</math>'''，
# 在'''集合 <math>B</math>''' 中都有唯一确定的数 <math>y</math> 和它对应，
# 那么就称 <math>f: A \rightarrow B</math> 为从集合 <math>A</math> 到集合 <math>B</math> 的一个函数，记作 <math>y = f(x), \; x \in A</math>.
* <math>x</math> 叫做自变量，
* <math>x</math> 的取值范围 <math>A</math> 叫做函数的'''定义域'''，
* 与 <math>x</math> 的值相对应的 <math>y</math> 值叫做函数值，
* 函数值的集合 <math>\{f(x) \mid x \in A\}</math> 叫做函数的'''值域'''.

=== 函数的三要素 ===
* 定义域 <math>A</math>
* 对应法则 <math>f</math>
* 值域 <math>\{f(x) \mid x \in A\}</math>

若两个函数的定义域和对应法则相同，则它们是同一函数。

=== 函数的本质 ===
* 函数是一种特殊的映射，其中集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> 都是数集。
* 函数的对应关系必须满足'''单值性'''，即每个 <math>x \in A</math> 只能对应一个 <math>y \in B</math>。
== 表示方法 ==
<del>这是初中笔记吗，怎么还写上表示方法了（？</del>
=== 解析法 ===
用数学表达式（解析式）来表示函数关系的方法。
* 优点：精确、便于计算和分析。
示例：
* [[一次函数]]：<math>y = kx + b</math>
* [[二次函数]]：<math>y = ax^2 + bx + c</math>
* [[反比例函数]]：<math>y = \frac{k}{x}</math>
* [[三角函数]]：<math>y = \sin x</math>

=== 列表法 ===
通过列出表格来表示函数的方法，通常用于定义域为有限集的情况。
* 优点：直观、便于查询具体函数值。
示例：
{| class="wikitable"
|-
| <math>x</math>|| -2 || -1 || 0 || 1 || 2
|-
| <math>f(x)</math>|| 4 || 1 || 0 || 1 || 4
|}

=== 图像法 ===
用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法。
* 优点：直观展示函数的变化趋势和性质。
* 图像的定义：函数 <math>y = f(x)</math> 的图像是坐标平面上的点集 <math>\{(x, f(x)) \mid x \in A\}</math>。
* 函数图像与垂直直线的交点：任意垂直于 x 轴的直线与函数图像至多有一个交点（单值性的几何意义）。

== 函数的定义域 ==
函数的定义域是自变量 <math>x</math> 的取值范围，通常由以下因素确定：
1. 解析式有意义的条件（如分母不为零、偶次根号内非负等）
2. 实际问题的限制（如时间、长度等非负）
3. 人为约定的范围

=== 求定义域的步骤 ===
1. 写出解析式有意义的不等式（组）
2. 解不等式（组）
3. 用集合或区间表示解集

=== 示例 ===
* 函数 <math>f(x) = \frac{1}{x-1}</math> 的定义域为 <math>x \neq 1</math>，即 <math>(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)</math>
* 函数 <math>f(x) = \sqrt{x+2}</math> 的定义域为 <math>x \geq -2</math>，即 <math>[-2, +\infty)</math>

== 函数的值域 ==
函数的值域是函数值的集合，通常由定义域和对应法则共同确定。
* 值域是集合 <math>B</math> 的子集，即 <math>\{f(x) \mid x \in A\} \subseteq B</math>
* 求值域的方法：观察法、配方法、反函数法、判别式法等

== 函数的奇偶性 ==
{| class="wikitable"
|+函数奇偶性的定义
!
!偶函数
!奇函数
|-
|文字语言
|如果 <math>F(x)</math> 的图像是以 <math>y</math> 轴为对称轴的轴对称图形，就称 <math>F(x)</math> 是偶函数
|如果 <math>F(x)</math> 的图像是以原点为中心的中心对称图形，就称 <math>F(x)</math> 是奇函数
|-
|符号语言
|如果对一切使 <math>F(x)</math> 有定义的 <math>x</math>，<math>F(-x)</math> 也有定义，并且 <math>F(-x) = F(x)</math>，则称 <math>F(x)</math> 为偶函数
|如果对一切使 <math>F(x)</math> 有定义的 <math>x</math>，<math>F(-x)</math> 也有定义，并且 <math>F(-x) = -F(x)</math>，则称 <math>F(x)</math> 为奇函数
|-
|定义域特征
| colspan="2" |定义域必须是关于原点对称的区间
|}

……↑大概意思就是说：
* <math>F(-x) = -F(x)</math> 就是奇函数；
* <math>F(-x) = F(x)</math> 就是偶函数.
函数按奇偶性分类：
# 奇函数；
# 偶函数；
# 既是奇函数又是偶函数；
# 非奇非偶函数.

== 求解析式 ==
=== 替换法 ===
简单题如：
<blockquote>
已知 <math>f(x+1)=x^2</math>，求 <math>f(x)</math> 的解析式.
</blockquote>
可把 <math>f(x+1)=x^2</math> 中的 <math>x</math> 换成 <math>x-1</math>，得 <math>f(x)=(x-1)^2</math>.
=== 配凑法 ===
<blockquote>
原函数表达式为 <math>f(t)=g(x)</math>，<math>t</math> 是关于 <math>x</math> 的式子，求 <math>f(x)</math> 的解析式
</blockquote>
这时要把 <math>g(x)</math> 通过变形、整理，使其变为只含 <math>t</math> 与常数的式子，然后将 <math>t</math> 换成 <math>x</math>，即可得到 <math>f(x)</math> 的解析式.

=== 换元法 ===
把某个式子看作一个整体，用一个新的变量去替代.

<blockquote>
<math>f(g(x))=\varphi (x)</math>，求 <math>f(x)</math> 的表达式.
</blockquote>

令 <math>t=g(x)</math>，从中解出 <math>x=h(t)</math>，代入右边 <math>\varphi(x)</math> 整理可得 <math>f(t)</math> 的表达式.
* 注意自变量 <math>t</math> 的取值范围是函数 <math>t=g(x)</math> 的值域，不是已知条件中 <math>x</math> 的取值范围.

=== 待定系数法 ===
使用字母来表示确定的系数.

<blockquote>
已知 <math>f(x)</math> 是一次函数，且 <math>f(f(x))=4x-1</math>，求 <math>f(x)</math>
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，那么 <math>f(kx+b)=k(kx+b)+b=4x-1</math>

→ <math>k^2+kb+b=4x-1</math>

可解得 <math>f(x)</math> 的表达式，为 <math>f(x)=2x-\frac{1}{3}</math> 或 <math>f(x)=-2x+1</math>.

=== 解方程组法 ===
又称'''消元法'''，常用于已知多个条件、多个函数值，要求出函数解析式的情况.

把题目给出的条件写成关于未知函数的方程组，通过代入、消元等方式求出函数的解析式.

<blockquote>
已知函数 <math>f(x)</math> 满足
<math>\begin{cases}
f(1)=3 \\
f(2)=5
\end{cases}</math>
且 <math>f(x)</math> 是一次函数，求 <math>f(x)</math>.
</blockquote>

设 <math>f(x)=kx+b</math>，代入条件得
<math>\begin{cases}
k+b=3 \\
2k+b=5
\end{cases}</math>

解得 <math>k=2, \; b=1</math>，
所以 <math>f(x)=2x+1</math>。

=== 赋值法 ===
又称'''特殊值法'''，适用于函数表达式较复杂、但可以通过代入特殊值来简化计算的情况.

选择合适的 <math>x</math> 值，使表达式大幅简化，从而求出未知量.

<blockquote>
已知 <math>f(x)+f(2-x)=x</math>，求 <math>f(x)</math>。
</blockquote>

令 <math>x=2</math>，得
<math>f(2)+f(0)=2</math> ……①

令 <math>x=0</math>，得
<math>f(0)+f(2)=0</math> ……②

由①②联立可得
<math>f(2)=1,\; f(0)=-1</math>

再将 <math>x</math> 代回原式整理，可求得一般形式的 <math>f(x)</math>。

[[分类:数学]]

不等式

2026-01-19T07:42:15Z

MM 喵了个：/* 拓展结论 */ 严禁话表达

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

* 如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

* 如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

* 如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

* <math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

* <math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

* <math> a < b \Leftrightarrow a - b < 0</math>

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>基本不等式</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

'''由此可总结出'''：
* 对于两个正数，当它们的积为定值时，和取得最小值；当它们的和为定值时，积取得最大值，且两者均在两个数相等时取得。

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==
{| class="wikitable"
|+与二次函数的关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
!<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|140px|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|140px|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|140px|此时与x轴没有交点]]
|-
!<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
!<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
!<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

== 一元二次方程根的分布/二次函数的零点分布（卡根法） ==
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表一）
!分布情况
!两个负根即两根都小于 0
<math>(x_1 < 0, x_2 < 0)</math>
!两个正根即两根都大于 0
!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 <math>(a>0)</math>
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}
{| class="wikitable"
|+两根与 0 的大小比较即根的正负情况（表二）
!分布情况
!两个负根即两根都小于 0
!两个正根即两根都大于 0
!一正根一负根即一根小于 0，一根大于 0
|-
!大致图象 (a<0)
|<图象>
|<图象>
|<图象>
|-
!得出的结论
|
|
|
|}

{{到题库|不等式}}
[[分类:代数]]

模板:待补充

2026-01-19T07:36:18Z

MM 喵了个：

<div class="mw-message-box mw-message-box-notice" style="border-left-width: 3px;">
<span style="font-size: 1.2em; margin-right: 0.4em;">📄</span>
本页面目前内容较少，仍需要进一步补充。
{{#if: {{{1|}}} |<br>原因：'''{{{1}}}'''。}}
</div>
<includeonly>[[Category:待补充页面]]</includeonly>
<noinclude>使用方法：<code><nowiki>{{待补充|原因}}</nowiki></code>
* 其中：“''原因''”为可选字段。
</noinclude>

离子方程式

2026-01-19T07:32:26Z

MM 喵了个：

用实际参加反应的离子的符号来表示反应的离子的方程式。

== 书写步骤 ==

（此处用硝酸银和氯化钠反应做范例）

=== 写 ===

写出正确的化学方程式。

<chem>AgNO3 + NaCl = AgCl\downarrow + NaNO3</chem>

=== 拆 ===
'''把易溶于水易电离的物质改写成离子形式'''；（例如强酸、强碱、易溶于水的盐等）

'''把难溶于水的物质'''（沉淀）、'''弱电解质'''（弱酸、弱碱、极少数盐、水）、'''气体'''、'''单质'''、'''氧化物等物质仍用化学式表示'''。

对此更多内容，详见[[电解质#电解质的电离|电解质的电离]]。

<chem>Ag^+ + NO3^- + Na^+ + Cl^- = AgCl\downarrow + Na^+ + NO3^-</chem>

=== 删 ===
删去方程式中不参加反应的离子

<chem>Ag^+ + Cl^- = AgCl\downarrow</chem>

=== 查 ===
检查：
# '''物质拆分是否正确'''；
# '''是否符合客观事实'''；
# '''方程式两边电荷是否相等'''；
# '''方程式两边的原子个数是否相等'''；

最后请：

* 将'''系数约成最简整数比'''。

== 意义 ==
离子方程式不仅可以表示某一个具体的化学反应，而且还可以表示同一类型的离子反应。

== 正误判断 ==
看离子方程式：
# 是否符合客观事实；
# 拆分是否正确；
# 是否符合原子守恒和电荷守恒；
# 是否漏写参加反应的离子；
# 各微粒比与物质组成是否相符；
# 是否符合题设条件。

== 发生条件 ==
# 复分解型离子反应发生条件：有沉淀、气体、水、弱酸或弱碱等生成。
# 置换型离子反应：溶液中有离子参加的置换反应。

== 与量有关的离子方程式 ==
=== <chem>OH^-</chem> 和 <chem>CO2</chem>、<chem>SO2</chem> 等反应 ===
==== <chem>NaOH</chem> 和 <chem>CO2</chem> 反应 ====

向 <chem>NaOH</chem> 溶液中通入 <chem>CO2</chem>：<chem>CO2 + 2NaOH = Na2CO3 + H2O</chem>

继续通入 <chem>CO2</chem> 得到：<chem>Na2CO3 + H2O + CO2 = 2NaHCO3</chem>

与原方程式相加得到：<chem>CO2 + NaOH = NaHCO3</chem>

'''由此可得：'''

通入'''少量''' <chem>CO2</chem>：<chem>CO2 + 2NaOH = Na2CO3 + H2O</chem>，
* 离子方程式为：<chem>CO2 + 2OH^- = CO3^{2-} + H2O</chem>

通入'''过量''' <chem>CO2</chem>：<chem>CO2 + NaOH = NaHCO3</chem>，
* 离子方程式为：<chem>CO2 + OH^- = HCO3^-</chem>

=== <chem>OH^-</chem> 和酸式根反应 ===
==== <chem>NaOH</chem> 和 <chem>Ca(HCO3)2</chem> 反应 ====
'''少量''' <chem>NaOH</chem> 反应：<chem>Ca(HCO3)2 + NaOH = CaCO3\downarrow + H2O + NaHCO3</chem>
* 离子方程式为：<chem>Ca^{2+} + HCO3^- + OH^- = CaCO3\downarrow + H2O</chem>

'''过量''' <chem>NaOH</chem> 反应：<chem>Ca(HCO3)2 + 2NaOH = CaCO3\downarrow + Na2CO3 + 2H2O</chem>
* 离子方程式为：<chem>Ca^{2+} + 2HCO3^- + 2OH^- = CaCO3\downarrow + 2H2O + CO3^{2-}</chem>

==== <chem>Ca(OH)2</chem> 和 <chem>NaHCO3</chem> 反应====
'''少量''' <chem>NaHCO3</chem> 反应：<chem>Ca(OH)2 + NaHCO3 = CaCO3\downarrow + H2O + NaOH</chem>
* 离子方程式为：<chem>Ca^{2+} + HCO3^- + OH^- = CaCO3\downarrow + H2O</chem>

'''过量''' <chem>NaHCO3</chem> 反应：<chem>Ca(OH)2 + 2NaHCO3 = CaCO3\downarrow + 2H2O + Na2CO3</chem>
* 离子方程式为：<chem>Ca^{2+} + 2HCO3^- + 2OH^- = CaCO3 \downarrow + 2H2O + CO3^{2-}</chem>

==== <chem>NaHSO4</chem> 和 <chem>Ba(OH)2</chem> 反应====
# 向 <chem>NaHSO4</chem> 溶液中滴加 <chem>Ba(OH)2</chem> 至 <chem>SO4^{2-}</chem> 恰好沉淀；
# 向 <chem>NaHSO4</chem> 溶液中滴加 <chem>Ba(OH)2</chem> 至溶液呈中性。
* 化学方程式为：
# <chem>NaHSO4 + Ba(OH)2 = BaSO4\downarrow + NaOH + H2O</chem>
# <chem>2NaHSO4 + Ba(OH)2 = BaSO4\downarrow + Na2SO4 + 2H2O</chem>
* 离子方程式为：
# <chem>H^+ + SO4^{2-} + Ba^{2+} + OH^- = BaSO4\downarrow + H2O</chem>
# <chem>2H^+ + SO4^{2-} + Ba^{2+} + 2OH^- = BaSO4\downarrow + 2H2O</chem>

== 离子共存 ==
'''一色二性三反应'''

# 有颜色的离子——溶液的颜色 <chem>Cu^{2+}</chem>（蓝）<chem>Fe^{3+}</chem>（黄）<chem>Fe^{2+}</chem>（浅绿）<chem>MnO4^-</chem>（紫红色）；
# 溶液的酸碱性；
# 生成沉淀、气体、弱酸、弱碱、水等的离子不能共存。
* 弱酸的酸式根与 <chem>H^+</chem> 和 <chem>OH^-</chem> 不能共存。

=== 离子推断常用规则 ===
* 肯定性原则
** 根据实验现象推出溶液中肯定存在或肯定不存在的离子；
* 互斥性原则
** 在肯定某些离子存在的同时，结合离子共存规律，否定一些离子的存在（要注意题目中的隐含条件，如酸性、碱性、指示剂的变色等）；
* '''电中性原则'''
** 溶液呈电中性，一定有阳离子，又有阴离子。且溶液正、负电荷总数相等；
* 进出性原则
** 通常是在实验过程中使用，指在实验过程中反应生成的离子或引入的离子对后续实验的干扰。

[[分类:元素化学]]
[[分类:典范笔记]]

溶解性

2026-01-19T07:31:12Z

MM 喵了个：

一种物质在特定条件下能否、以及能在多大程度上溶于某种溶剂的一种性质。

== 溶解性表 ==
{| class="wikitable"
|+部分酸、碱和盐的溶解性表（室温）
! rowspan="2" |阳离子
! colspan="5" |阴离子
|-
|<math>\mathrm{OH}^{-}</math>
|<math>\mathrm{NO}_3^{-}</math>
|<math>\mathrm{Cl}^{-}</math>
|<math>\mathrm{SO}_4^{2-}</math>
|<math>\mathrm{CO}_3^{2-}</math>
|-
|<math>\mathrm{H}^+</math>
|水
|溶、挥
|溶、挥
|溶
|溶、挥
|-
|<math>\mathrm{NH}_4^+</math>
|溶、挥
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{K}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Na}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Ba}^{2+}</math>
|溶
|溶
|溶
|不
|不
|-
|<math>\mathrm{Ca}^{2+}</math>
|微
|溶
|溶
|微
|不
|-
|<math>\mathrm{Mg}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|微
|-
|<math>\mathrm{Al}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Mn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Zn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{3+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Cu}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Ag}^{+}</math>
| -
|溶
|不
|微
|不
|}
* 其中：
** '''溶'''：溶解；
** '''挥'''：挥发；
** '''微'''：微溶；
** '''不'''：不溶。
** '''“-”'''：无法稳定存在的物质：
*** '''氢氧化银''' <chem>AgOH</chem> 呈白色粉末，在水中呈碱性，常温下极不稳定，易分解为棕色的'''氧化银'''（<chem>Ag2O</chem>）和'''水'''；
*** '''碳酸铝''' <chem>Al2(CO3)3</chem> 是一种白色固体，遇水会发生水解反应，生成'''氢氧化铝'''（<chem>Al(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）；
*** '''碳酸铁''' <chem>Fe2(CO3)3</chem> 通常呈白色或淡灰色的固体，'''极其不稳定'''，易分解为'''氢氧化铁'''（<chem>Fe(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>），主要用于工业熔剂；
*** '''碳酸铜''' <chem>CuCO3</chem> 呈蓝绿色粉末，遇水立即双水解为'''氢氧化铜'''（<chem>Cu(OH)2</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）。
[[分类:化学]]

溶解性

2026-01-19T07:30:25Z

MM 喵了个：严谨写法

一种物质在特定条件下能否、以及能在多大程度上溶于某种溶剂的一种性质。

== 溶解性表 ==
{| class="wikitable"
|+部分酸、碱和盐的溶解性表（室温）
! rowspan="2" |阳离子
! colspan="5" |阴离子
|-
|<math>\mathrm{OH}^{-}</math>
|<math>\mathrm{NO}_3^{-}</math>
|<math>\mathrm{Cl}^{-}</math>
|<math>\mathrm{SO}_4^{2-}</math>
|<math>\mathrm{CO}_3^{2-}</math>
|-
|<math>\mathrm{H}^+</math>
|水
|溶、挥
|溶、挥
|溶
|溶、挥
|-
|<math>\mathrm{NH}_4^+</math>
|溶、挥
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{K}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Na}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Ba}^{2+}</math>
|溶
|溶
|溶
|不
|不
|-
|<math>\mathrm{Ca}^{2+}</math>
|微
|溶
|溶
|微
|不
|-
|<math>\mathrm{Mg}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|微
|-
|<math>\mathrm{Al}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Mn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Zn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{3+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Cu}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Ag}^{+}</math>
| -
|溶
|不
|微
|不
|}
* 其中：
** '''溶'''：溶解；
** '''挥'''：挥发；
** '''微'''：微溶；
** '''不'''：不溶。
** '''“-”'''：
*** '''氢氧化银''' <chem>AgOH</chem> 呈白色粉末，在水中呈碱性，常温下极不稳定，易分解为棕色的'''氧化银'''（<chem>Ag2O</chem>）和'''水'''；
*** '''碳酸铝''' <chem>Al2(CO3)3</chem> 是一种白色固体，遇水会发生水解反应，生成'''氢氧化铝'''（<chem>Al(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）；
*** '''碳酸铁''' <chem>Fe2(CO3)3</chem> 通常呈白色或淡灰色的固体，'''极其不稳定'''，易分解为'''氢氧化铁'''（<chem>Fe(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>），主要用于工业熔剂；
*** '''碳酸铜''' <chem>CuCO3</chem> 呈蓝绿色粉末，遇水立即双水解为'''氢氧化铜'''（<chem>Cu(OH)2</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）。
[[分类:化学]]

溶解性

2026-01-19T07:28:53Z

MM 喵了个：

一种物质在特定条件下能否、以及能在多大程度上溶于某种溶剂的一种性质。

== 溶解性表 ==
{| class="wikitable"
|+部分酸、碱和盐的溶解性表（室温）
! rowspan="2" |阳离子
! colspan="5" |阴离子
|-
|<math>\mathrm{OH}^{-}</math>
|<math>\mathrm{NO}_3^{-}</math>
|<math>\mathrm{Cl}^{-}</math>
|<math>\mathrm{SO}_4^{2-}</math>
|<math>\mathrm{CO}_3^{2-}</math>
|-
|<math>\mathrm{H}^+</math>
|水
|溶、挥
|溶、挥
|溶
|溶、挥
|-
|<math>\mathrm{NH}_4^+</math>
|溶、挥
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{K}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Na}^+</math>
|溶
|溶
|溶
|溶
|溶
|-
|<math>\mathrm{Ba}^{2+}</math>
|溶
|溶
|溶
|不
|不
|-
|<math>\mathrm{Ca}^{2+}</math>
|微
|溶
|溶
|微
|不
|-
|<math>\mathrm{Mg}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|微
|-
|<math>\mathrm{Al}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Mn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Zn}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
|不
|-
|<math>\mathrm{Fe}^{3+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Cu}^{2+}</math>
|不
|溶
|溶
|溶
| -
|-
|<math>\mathrm{Ag}^{+}</math>
| -
|溶
|不
|微
|不
|}
* 其中：
** '''溶'''：溶解；
** '''挥'''：挥发；
** '''微'''：微溶；
** '''不'''：不溶。
** '''“-”'''：
*** '''氢氧化银''' <chem>AgOH</chem> 呈白色粉末，在水中呈碱性，常温下极不稳定，易分解为棕色的'''氧化银'''（<chem>Ag2O</chem>）和'''水'''；
*** '''碳酸铝''' <chem>Al2(CO3)3</chem> 是一种白色固体，遇水会发生水解反应，生成'''氢氧化铝'''（<chem>Al(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）；
*** '''碳酸铁''' <chem>Fe2(CO3)3</chem> 通常呈白色或淡灰色的固体，通常不稳定，易分解为'''氢氧化铁'''（<chem>Fe(OH)3</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>），主要用于工业熔剂；
*** '''碳酸铜''' <chem>CuCO3</chem> 呈蓝绿色粉末，遇水立即双水解为'''氢氧化铜'''（<chem>Cu(OH)2</chem>）和'''二氧化碳'''（<chem>CO2</chem>）。
[[分类:化学]]

统计

2026-01-19T07:26:36Z

MM 喵了个：

用样本推断总体，用数据描述规律.
{{待补充}}
== 概述 ==
统计研究如何从数据中提取信息，是理解现实世界规律的重要工具。在高中阶段，统计的核心思想是：'''用有限的样本推断未知的总体'''.
== 数据的集中趋势 ==
集中趋势描述数据'''集中在什么位置'''.
* '''平均数'''：所有数据的算术平均值，反映整体水平；
* '''中位数'''：把数据按大小排列后处于中间位置的值，不受极端值影响；
* '''众数'''：出现次数最多的数，适用于分类数据或离散数据.

== 数据的离散程度 ==
离散程度描述数据“分散得有多开”.
* '''方差'''：各数据与平均数的偏差平方的平均值；
* '''标准差'''：方差的平方根，更直观地反映数据波动程度；
* 离散程度越大，数据越不稳定；越小，数据越集中.

== 抽样方法 ==
抽样用于从总体中选取样本，以便进行推断。
* '''简单随机抽样'''：每个个体被抽到的机会相同；
* '''系统抽样'''：按固定间隔抽取，如每隔 <math>k</math> 个抽一个；
* 抽样的目标是“代表性”，即样本能反映总体特征.
== 正态分布 ==
正态分布是一种在自然界中非常常见的分布形状（“钟形曲线”）.
* '''特点'''：对称、单峰、两侧逐渐下降；
* 大量自然现象（身高、测量误差、考试成绩）都近似服从正态分布；
* 标准差决定曲线的“胖瘦”，平均数决定曲线的“中心”.
== 统计量 ==
统计量是用样本数据计算出的量，用于估计总体特征。
* '''样本平均数''' <math>\bar{x}</math>；
* '''样本方差''' <math>s^2</math>；
* '''样本标准差''' <math>s</math>.
统计量越稳定，推断越可靠.
== 统计的意义 ==
统计帮助我们：
* 从数据中发现规律；
* 处理不确定性；
* 进行预测与判断；
* 支持科学研究与决策.

[[分类:概率与统计]]

概率

2026-01-19T07:26:11Z

MM 喵了个：

帮助我们量化“可能性”.
{{待补充}}
== 概述 ==
概率用于描述某个事件发生的可能程度，是研究随机现象的基础工具.

在高中阶段，概率的核心思想是：'''在不确定中寻找规律'''.
== 随机事件 ==
随机事件是指在相同条件下重复试验时，结果具有不确定性的事件.
* 例如：掷骰子、摸球、抽签.
* 事件通常用大写字母表示，如 <math>A</math>、<math>B</math>、<math>C</math>.
* 事件的发生与否具有随机性，但长期重复会呈现稳定的频率.
== 古典概型 ==
当试验的所有基本结果等可能发生时，可以使用古典概型计算概率.
* 概率公式：<math>P(A)=\frac{\text{事件 A 的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}</math>.
* 常见场景：掷骰子、扑克牌、摸球问题.
* 特点：要求“等可能”，否则不能使用.
== 条件概率 ==
在某件事已经发生的前提下，另一件事发生的概率.
* 定义：<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}</math>.
* 读作“在 <math>B</math> 已发生的条件下，<math>A</math> 发生的概率”.
* 条件概率常用于分步事件、筛选问题、路径问题等.
== 独立性 ==
如果事件 <math>A</math> 的发生不影响事件 <math>B</math> 的发生，则称 <math>A</math> 与 <math>B</math> 独立.
* 数学表达：<math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>.
* 独立性不是“互斥”，两者概念不同：
** 互斥：不能同时发生.
** 独立：互不影响.
== 全概率公式 ==
当事件 <math>A</math> 可以通过若干互不相容的情形分解时，可以用全概率公式计算.
* 若 <math>\{B_1,B_2,\ldots,B_n\}</math> 为完备事件组，则：
<math>P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)</math>.

常用于分情况、路径、分类讨论的问题.
== 贝叶斯公式 ==
用于'''反向推断'''，即根据结果推测原因.
* 公式：
<math>P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{k=1}^n P(B_k)P(A|B_k)}</math>.

常见于医学检测、筛查、分类判断等问题.
== 概率的基本性质 ==
* <math>0 \le P(A) \le 1</math>.
* 必然事件概率为 <math>1</math>，不可能事件概率为 <math>0</math>.
* 若 A、B 互斥，则 <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>.
* 一般情况下：<math>P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)</math>.
[[分类:概率与统计]]

空间位置关系

2026-01-19T07:21:26Z

MM 喵了个：

空间点、直线、平面的位置关系。
== 平面的基本性质 ==
# 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（<math>A \in l, B \in l, A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha</math>）；

# 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线三点确定一个平面）；

# 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（<math>P \in \alpha, P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l, P \in l</math>）。

== 空间中直线与直线的位置关系 ==
共面直线：
* 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
* 平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（判定：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线）。

== 空间中直线与平面的位置关系 ==
* 直线在平面内：有无数个公共点（<math>l \subset \alpha</math>）；
* 直线与平面相交：有且只有一个公共点（<math>l \cap \alpha = A</math>）；
* 直线与平面平行：没有公共点（<math>l \parallel \alpha</math>）。

== 空间中平面与平面的位置关系 ==
* 两个平面平行：没有公共点（<math>\alpha \parallel \beta</math>）；
* 两个平面相交：有一条公共直线（<math>\alpha \cap \beta = l</math>）。
[[分类:立体几何]]

分类:立体几何

2026-01-19T07:17:30Z

MM 喵了个：页面内容被替换为“研究三维空间中点、线、面、体之间关系的几何学。分类:几何”

研究三维空间中点、线、面、体之间关系的几何学。
[[分类:几何]]

空间几何体

2026-01-19T07:17:23Z

MM 喵了个：

由'''点'''、'''线'''、'''面'''构成的空间图形。
== 定义 ==
由'''点'''、'''线'''、'''面'''构成的空间图形叫'''空间几何体'''。

常见类型包括：
* 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体（如棱柱、棱锥、棱台）
* 旋转体：由平面图形绕某条直线旋转而成的几何体（如圆柱、圆锥、圆台、球）
== 多面体 ==
=== 棱柱 ===
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做'''棱柱'''。

概念：
* 互相平行的两个面叫做棱柱的'''底面'''（上底、下底）；
* 其余各面叫做棱柱的'''侧面'''；
* 相邻侧面的公共边叫做棱柱的'''侧棱'''；
* 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的'''顶点'''；
分类：
* 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
* 按侧棱与底面关系：
** 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
** 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。
性质：
* 底面互相平行且全等；
* 侧棱互相平行且相等；
* 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；

=== 棱锥 ===
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做'''棱锥'''。

概念：
* 多边形面叫做棱锥的'''底面'''；
* 其余各面叫做棱锥的'''侧面'''；
* 各侧面的公共顶点叫做棱锥的'''顶点'''；
* 顶点到底面的距离叫做棱锥的'''高'''；
分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。

性质：
* 底面是多边形；
* 侧面是有公共顶点的三角形。

=== 棱台 ===
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做'''棱台'''。

相关概念：
* 原棱锥的底面和截面叫做棱台的'''下底'''和'''上底'''；
* 其余各面叫做棱台的'''侧面'''；
* 相邻侧面的公共边叫做棱台的'''侧棱'''；
分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。

性质：
* 上下底面互相平行且相似；
* 侧棱延长后交于一点。

== 旋转体 ==

=== 圆柱 ===
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆柱'''。

概念：
* 旋转轴叫做圆柱的'''轴'''；
* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的'''底面'''；
* 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的'''侧面'''；
* 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的'''母线'''。

性质：
* 两个底面是全等的圆，且互相平行；
* 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
* 轴截面（过轴的截面）是矩形。

=== 圆锥 ===
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆锥'''。

概念：
* 旋转轴叫做圆锥的'''轴'''；
* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的'''底面'''；
* 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的'''侧面'''；
* 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的'''母线'''。

性质：
* 底面是圆；
* 母线交于顶点，长度相等；
* 轴截面是等腰三角形。

=== 球 ===
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做'''球体'''，简称'''球'''。

概念：
* 半圆的圆心叫做球的'''球心'''；
* 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的'''半径'''；
* 连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的'''直径'''

性质：
* 球面上任意一点到球心的距离都等于半径
* 用平面截球，截面是圆（过球心的截面是大圆，否则是小圆）

== 空间几何体的表面积与体积 ==

=== 表面积公式 ===
{| class="wikitable"
|+ 常见立体图形表面积公式
|-
! 图形名称 !! 表面积公式 !! 符号说明
|-
| 正方体 || <math>S = 6a^2</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
|-
| 长方体 || <math>S = 2(ab + bc + ac)</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
|-
| 球体 || <math>S = 4\pi R^2</math> || <math>R</math> 为球的半径
|-
| 圆柱体 || <math>S = 2\pi r^2 + 2\pi rh</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 圆锥体 || <math>S = \pi r^2 + \pi rl</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>l</math> 为母线长（<math>l = \sqrt{r^2 + h^2}</math>）
|-
| 正三棱锥 || <math>S = S_{\text{底}} + 3 \times \frac{1}{2} a h'</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h'</math> 为斜高
|-
| 正四棱锥 || <math>S = a^2 + 2a \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h</math> 为高
|-
| 棱柱 || <math>S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
|-
| 棱台 || <math>S = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
|}

=== 体积公式 ===
{| class="wikitable"
|+ 常见立体图形体积公式
|-
! 图形名称 !! 体积公式 !! 符号说明
|-
| 正方体 || <math>V = a^3</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
|-
| 长方体 || <math>V = abc</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
|-
| 球体 || <math>V = \frac{4}{3}\pi R^3</math> || <math>R</math> 为球的半径
|-
| 圆柱体 || <math>V = \pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 圆锥体 || <math>V = \frac{1}{3}\pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 棱锥体 || <math>V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
|-
| 棱柱体 || <math>V = S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
|-
| 棱台 || <math>V = \frac{1}{3}h(S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>h</math> 为高
|}

[[分类:立体几何]]

立体图形

2026-01-19T07:16:11Z

MM 喵了个：MM 喵了个移动页面立体图形至空间几何体

#重定向 [[空间几何体]]

空间几何体

2026-01-19T07:16:11Z

MM 喵了个：MM 喵了个移动页面立体图形至空间几何体

== 多面体 ==
=== 棱柱 ===
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做'''棱柱'''。

概念：
* 互相平行的两个面叫做棱柱的'''底面'''（上底、下底）；
* 其余各面叫做棱柱的'''侧面'''；
* 相邻侧面的公共边叫做棱柱的'''侧棱'''；
* 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的'''顶点'''；
分类：
* 按底面边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱等；
* 按侧棱与底面关系：
** 直棱柱：侧棱垂直于底面（如正方体、长方体）；
** 斜棱柱：侧棱不垂直于底面。
性质：
* 底面互相平行且全等；
* 侧棱互相平行且相等；
* 侧面都是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）；

=== 棱锥 ===
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做'''棱锥'''。

概念：
* 多边形面叫做棱锥的'''底面'''；
* 其余各面叫做棱锥的'''侧面'''；
* 各侧面的公共顶点叫做棱锥的'''顶点'''；
* 顶点到底面的距离叫做棱锥的'''高'''；
分类：按底面边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥等。

性质：
* 底面是多边形；
* 侧面是有公共顶点的三角形。

=== 棱台 ===
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做'''棱台'''。

相关概念：
* 原棱锥的底面和截面叫做棱台的'''下底'''和'''上底'''；
* 其余各面叫做棱台的'''侧面'''；
* 相邻侧面的公共边叫做棱台的'''侧棱'''；
分类：按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。

性质：
* 上下底面互相平行且相似；
* 侧棱延长后交于一点。

== 旋转体 ==

=== 圆柱 ===
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆柱'''。

概念：
* 旋转轴叫做圆柱的'''轴'''；
* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的'''底面'''；
* 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的'''侧面'''；
* 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的'''母线'''。

性质：
* 两个底面是全等的圆，且互相平行；
* 母线互相平行且相等，长度等于圆柱的高；
* 轴截面（过轴的截面）是矩形。

=== 圆锥 ===
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做'''圆锥'''。

概念：
* 旋转轴叫做圆锥的'''轴'''；
* 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的'''底面'''；
* 斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的'''侧面'''；
* 无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的'''母线'''。

性质：
* 底面是圆；
* 母线交于顶点，长度相等；
* 轴截面是等腰三角形。

=== 球 ===
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做'''球体'''，简称'''球'''。

概念：
* 半圆的圆心叫做球的'''球心'''；
* 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的'''半径'''；
* 连接球面上两点且经过球心的线段叫做球的'''直径'''

性质：
* 球面上任意一点到球心的距离都等于半径
* 用平面截球，截面是圆（过球心的截面是大圆，否则是小圆）

== 空间几何体的表面积与体积 ==

=== 表面积公式 ===
{| class="wikitable"
|+ 常见立体图形表面积公式
|-
! 图形名称 !! 表面积公式 !! 符号说明
|-
| 正方体 || <math>S = 6a^2</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
|-
| 长方体 || <math>S = 2(ab + bc + ac)</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
|-
| 球体 || <math>S = 4\pi R^2</math> || <math>R</math> 为球的半径
|-
| 圆柱体 || <math>S = 2\pi r^2 + 2\pi rh</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 圆锥体 || <math>S = \pi r^2 + \pi rl</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>l</math> 为母线长（<math>l = \sqrt{r^2 + h^2}</math>）
|-
| 正三棱锥 || <math>S = S_{\text{底}} + 3 \times \frac{1}{2} a h'</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h'</math> 为斜高
|-
| 正四棱锥 || <math>S = a^2 + 2a \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}</math> || <math>a</math> 为底面边长，<math>h</math> 为高
|-
| 棱柱 || <math>S = 2S_{\text{底}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
|-
| 棱台 || <math>S = S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + S_{\text{侧}}</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>S_{\text{侧}}</math> 为侧面积
|}

=== 体积公式 ===
{| class="wikitable"
|+ 常见立体图形体积公式
|-
! 图形名称 !! 体积公式 !! 符号说明
|-
| 正方体 || <math>V = a^3</math> || <math>a</math> 为正方体棱长
|-
| 长方体 || <math>V = abc</math> || <math>a, b, c</math> 分别为长方体的长、宽、高
|-
| 球体 || <math>V = \frac{4}{3}\pi R^3</math> || <math>R</math> 为球的半径
|-
| 圆柱体 || <math>V = \pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 圆锥体 || <math>V = \frac{1}{3}\pi r^2 h</math> || <math>r</math> 为底面半径，<math>h</math> 为高
|-
| 棱锥体 || <math>V = \frac{1}{3} S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
|-
| 棱柱体 || <math>V = S_{\text{底}} h</math> || <math>S_{\text{底}}</math> 为底面积，<math>h</math> 为高
|-
| 棱台 || <math>V = \frac{1}{3}h(S_{\text{上}} + S_{\text{下}} + \sqrt{S_{\text{上}}S_{\text{下}}})</math> || <math>S_{\text{上}}, S_{\text{下}}</math> 为上下底面积，<math>h</math> 为高
|}

[[分类:立体几何]]