高中笔记 - 用户贡献 [zh-hans]

光合作用

2025-08-24T03:08:50Z

Hahahotsoup：

绿色植物利用光能，将 <math>\ce{CO2}</math> 和 <math>\ce{H2O}</math> 合成有机物并释放 <math>\ce{O2}</math>。
<math>\xrightarrow[\text{ 叶绿体}] {\text{ 光能 }}</math>

[[分类:生物学]]

分类:代数

2024-10-18T12:40:13Z

Hahahotsoup：

[[分类:数学]]

分类:代数

2024-10-18T12:38:53Z

Hahahotsoup：

[[:分类:数学]]

人教B版

2024-10-18T12:37:15Z

Hahahotsoup：创建页面，内容为“=== 必修第一册 === ==== 1. 集合 ==== ===== 1.1 集合及其表示方法 ===== 1.1.1 集合的基本关系 1.1.2 集合的基本运算 ===== 1.2 常用逻辑用语 ===== 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定逻辑用语#充分条件和必要条件|1.2.3 充分条件…”

=== 必修第一册 ===

==== [[集合|1. 集合]] ====

===== 1.1 集合及其表示方法 =====
1.1.1 集合的基本关系

1.1.2 集合的基本运算

===== [[逻辑用语|1.2 常用逻辑用语]] =====
[[逻辑用语#含有量词的命题|1.2.1 命题与量词]]

[[逻辑用语#含量词命题的否定|1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定]]

[[逻辑用语#充分条件和必要条件|1.2.3 充分条件、必要条件]]

==== 2. 等式 ====

===== 2.1 等式的性质与方程的解集 =====
2.1.1 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

2.1.2 方程组的解集

==== 3. 不等式 ====

===== 2.2 不等式及其性质 =====
2.2.1 不等式的解集

2.2.2 一元二次不等式的解法

2.2.3 均值不等式及其应用

教材版本

2024-10-18T12:28:00Z

Hahahotsoup：创建页面，内容为“=== 数学 === 人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、鄂教版、湘教版、沪教版”

=== 数学 ===
[[人教A版]]、[[人教B版]]、[[北师大版]]、[[苏教版]]、[[鄂教版]]、[[湘教版]]、[[沪教版]]

首页

2024-10-18T12:18:08Z

Hahahotsoup：

欢迎来到高中笔记！

这里是集合所有'''高中课堂笔记'''的地方。

你可以编写、查阅、纠错这里的内容。

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<math>\text{高中笔记} = \{x \mid x \in \text{高中课堂笔记}\}</math>

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== 最近编辑 ==

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=== 来自站长的留言... ===
我是 [[用户:MM 喵了个|MM 喵了个]]～目前是一名高一学生！
* 目前时间很紧张... 没有时间来光顾这里啦～
* 大家可以把这里当作一个资料很不全的资料库...
* 希望会有人来编辑吧...

用户讨论:MM 喵了个

2024-10-18T12:05:59Z

Hahahotsoup：/* 留言 */ 新章节

233

== 留言 ==

感谢咪喵桑帮我把md笔记转化成mediawiki条目，幸苦了 [[用户:Hahahotsoup|Hahahotsoup]]（[[用户讨论:Hahahotsoup|留言]]） 2024年10月18日 (五) 20:05 (CST)

物质的量

2024-10-13T07:36:36Z

Hahahotsoup：

== 物质的量 ==
* 定义：含微粒多少的物理量
* 符号：<math>\mathrm{n}</math>
* 单位：摩尔符号：<math>\mathrm{mol}</math>
* 注意：
** 物质的量是专有名词，不能增加或减少文字
** 物质的量及其单位只适用于微观粒子，不适用于宏观物质
** 使用摩尔作单位表示物质的量时必须指明微粒种类

== 阿伏伽德罗常数 ==
* 规定：<math>1 \, \mathrm{mol}</math> 单位的离子包含<math>6.02 \times 10^{23}</math>基本单元叫做阿伏伽德罗常数
* 阿伏伽德罗常数符号:<math>\mathrm{N_A}</math>
* 单位:每摩尔
* 符号:<math>\mathrm{mol^{-1}}</math>
** <math>\mathrm{1N_A = 6.02 \times 10^{23} mol^{-1}}</math>

[[分类:化学]]

物质的量

2024-10-13T07:27:52Z

Hahahotsoup：创建页面，内容为“== 物质的量 == * 定义：含微粒多少的物理量 * 符号：<math>\mathrm{n}</math> * 单位：摩尔符号：<math>\mathrm{mol}</math> * 注意： ** 物质的量是专有名词，不能增加或减少文字 ** 物质的量及其单位只适用于微观粒子，不适用于宏观物质 ** 使用摩尔作单位表示物质的量时必须指明微粒种类 == 阿伏伽德罗常数 == * 规定：<math>1 \, \mathrm{mol}</math> 单位的离子包含<ma…”

== 物质的量 ==
* 定义：含微粒多少的物理量
* 符号：<math>\mathrm{n}</math>
* 单位：摩尔符号：<math>\mathrm{mol}</math>
* 注意：
** 物质的量是专有名词，不能增加或减少文字
** 物质的量及其单位只适用于微观粒子，不适用于宏观物质
** 使用摩尔作单位表示物质的量时必须指明微粒种类

== 阿伏伽德罗常数 ==
* 规定：<math>1 \, \mathrm{mol}</math> 单位的离子包含<math>6.02 \times 10^{23}$</math>基本单元→叫做阿伏伽德罗常数
* 阿伏伽德罗常数符号:<math>\mathrm{N_A}</math>
* 单位:每摩尔
* 符号:<math>\mathrm{mol^{-1}}</math>

用户讨论:Sanlianjun

2024-08-02T14:52:11Z

Hahahotsoup：/* 留言 */ 新章节

== 留言 ==

喵喵喵

用户页串门ing [[用户:Hahahotsoup|Hahahotsoup]]（[[用户讨论:Hahahotsoup|留言]]） 2024年8月2日 (五) 22:52 (CST)

用户讨论:FTS427

2024-08-02T14:50:25Z

Hahahotsoup：/* 留言 */ 新章节

== 留言 ==

喵喵喵

用户页串门ing [[用户:Hahahotsoup|Hahahotsoup]]（[[用户讨论:Hahahotsoup|留言]]） 2024年8月2日 (五) 22:50 (CST)

用户讨论:白子祺

2024-08-02T14:46:38Z

Hahahotsoup：/* 留言 */ 新章节

== 留言 ==

喵喵喵

用户页串门ing [[用户:Hahahotsoup|Hahahotsoup]]（[[用户讨论:Hahahotsoup|留言]]） 2024年8月2日 (五) 22:46 (CST)

高中笔记:函数图像的生成

2024-08-02T14:30:52Z

Hahahotsoup：创建页面，内容为“你好，感谢您参与高中笔记的编写我们对您表示欢迎！在编写笔记时，很多时候都需要生成函数图像（尤其是理科）我们现任管理的常用方式是使用python的numpy库进行生成但是大部分人是不会编程的，所以我们做好了一个模板，你只需要把源码复制下来，填入你的内容，编译后点击保存按钮就会生成图像模板：”

你好，感谢您参与高中笔记的编写

我们对您表示欢迎！

在编写笔记时，很多时候都需要生成函数图像（尤其是理科）

我们现任管理的常用方式是使用python的numpy库进行生成

但是大部分人是不会编程的，所以我们做好了一个模板，你只需要把源码复制下来，填入你的内容，编译后点击保存按钮就会生成图像

模板：

质点与参考系

2024-08-02T14:22:40Z

Hahahotsoup：已还原MM 喵了个（讨论）的编辑至最后由Hahahotsoup修订的版本

=== 一、质点 ===
定义：忽略物体形状大小，把物体看作一个有质量的点，叫做质点

意义：

# 忽略次要因素
# 作为理想模型，现实中不存在，可以有效简化问题

条件：形状、大小相对于问题而言均可被忽略，否则不能作为质点

=== 二、参考系 ===
与参照物类似，一般以大地作为参考系（并非全部适用）

定义：假定不动的物体看其他物体相对于他的位置变化

原则：

# 同一个问题中参考系同一
# 可以任意选择参考系，但不能随意选择参考系

不等式

2024-08-02T14:18:40Z

Hahahotsoup：因标题显示问题删除标题

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a 

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

由此可总结出：

当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==

=== 与二次函数的关系 ===
{| class="mw-collapsible mw-collapsed"
|+
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
|<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|此时与x轴没有交点]]
|-
|<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
|<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

= 例题 =
== 基本不等式 ==
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

[[分类:数学]]

不等式

2024-08-02T14:17:53Z

Hahahotsoup：/* 与二次函数的关系 */

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a 

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

由此可总结出：

当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==

=== 与二次函数的关系 ===
{| class="mw-collapsible mw-collapsed"
|+二次函数与一元二次方程、不等式解的对应关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
|<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|此时与x轴没有交点]]
|-
|<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
|<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

= 例题 =
== 基本不等式 ==
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

[[分类:数学]]

不等式

2024-08-02T14:17:00Z

Hahahotsoup：/* 与二次函数的关系 */

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a 

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

由此可总结出：

当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==

=== 与二次函数的关系 ===
{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|+二次函数与一元二次方程、不等式解的对应关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
|<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|此时与x轴没有交点]]
|-
|<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
|<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

= 例题 =
== 基本不等式 ==
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

[[分类:数学]]

不等式

2024-08-02T14:13:05Z

Hahahotsoup：

我们经常用'''不等式'''来研究含有不等关系的问题.

== 基本事实 ==

如果 <math>a - b > 0</math>, 那么 <math>a > b</math>

如果 <math>a - b = 0</math>, 那么 <math>a = b</math>

如果 <math>a - b < 0</math>, 那么 <math>a < b</math>

反过来也成立. 即

<math> a > b \Leftrightarrow a - b > 0</math>

<math> a = b \Leftrightarrow a - b = 0</math>

<math> a 

所以，如要证明 <math>x \le a</math>, 只需证明 <math>x - a \le 0</math> 即可.

== 基本不等式 ==

'''把不等式 <math>\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}(a > 0, \; b > 0)</math> 称为<big>{{color|red|基本不等式}}</big>.'''

对任意 <math>a, b \in R, a^2 + b^2 \ge 2ab</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

对任意正数 <math>a, b, \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>，当且仅当 <math>a = b</math> 时等号成立.

一般地，对于正数 <math>a,\; b</math>，我们把 <math>\frac{a + b}{2}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''算术平均数'''，<math>\sqrt{ab}</math> 称为 <math>a,\; b</math> 的'''几何平均数'''.

=== 拓展结论 ===

# 已知 <math>x, \; y</math> 都为正数，如果 <math>xy</math> 等于定值 <math>P</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，和 <math>x + y</math>有最小值 <math>2 \sqrt{p}</math>;
# 如果 <math>x + y</math> 是定值 <math>s</math>，那么当且仅当 <math>x = y</math> 时，积 <math>xy</math> 有最大值 <math>\frac{s^2}{4}</math>.

由此可总结出：

当两个{{color|red|正数}}变量的{{color|blue|积}}或{{color|orange|和}}为{{color|red|定值}}时，他们的{{color|blue|和有最小值}}或{{color|orange|积有最大值}}

== 糖水原理 ==

<math>a</math> 克糖水中有 <math>b</math> 克糖，

它的质量分数就是 <math>\frac {b}{a}</math>.

再向容器中加入 <math>c</math> 克糖，

得到质量分数为 <math>\frac{b+c}{a+c}</math> 的糖溶液.

加入两次糖后的溶液更甜，即'''后者'''质量分数更大.

即

<math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

=== 证明过程 ===

其中，<math>a > b > 0, \; c > 0</math>.

作差证明：

<math>\frac {b}{a} - \frac {b + c}{a + c} = \frac {ab + bc - ab - ac}{a(a + c)} = \frac {bc - ac}{a(a + c)} = \frac {c(b - a)}{a(a + c)} < 0</math>

所以 <math>\frac {b}{a} < \frac {b + c}{a + c}</math>.

== 一元二次不等式 ==

=== 与二次函数的关系 ===
{| class="wikitable"
|+二次函数与一元二次方程、不等式解的对应关系
!
!<math>\Delta > 0</math>
!<math>\Delta = 0</math>
!<math>\Delta < 0</math>
|-
|<math>y = ax^2 + bx + c \quad (a > 0)</math> 的图象
|[[文件:Delta大于0.png|缩略图|此时与x轴有两个交点]]
|[[文件:Delta等于0.png|缩略图|此时图像与x轴有且仅有一个交点（或有两个相同的实数解）]]
|[[文件:Delta小于0.png|缩略图|此时与x轴没有交点]]
|-
|<math>ax^2 + bx + c = 0 \quad (a > 0)</math> 的根
|有两个不相等的实数根 <math>x_1, x_2 \quad (x_1 < x_2)</math>
|有两个相等的实数根 <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>
|没有实数根
|-
|<math>ax^2 + bx + c > 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}</math>
|<math>\{x \mid x \neq -\frac{b}{2a}\}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|-
|<math>ax^2 + bx + c < 0 \quad (a > 0)</math> 的解集
|<math>\{x \mid x_1 < x < x_2\}</math>
|<math>\emptyset</math>
|<math>\emptyset</math>
|}

= 例题 =
== 基本不等式 ==
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1.

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2.

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

[[分类:数学]]

文件:Delta等于0.png

2024-08-02T14:12:10Z

Hahahotsoup：函数图像使用numpy

== 摘要 ==
函数图像
使用numpy
== 许可协议 ==
{{License CC-BY-NC-SA}}

文件:Delta大于0.png

2024-08-02T14:10:17Z

Hahahotsoup：函数图像使用numpy生成

== 摘要 ==
函数图像
使用numpy生成
== 许可协议 ==
{{License CC-BY-NC-SA}}

文件:Delta小于0.png

2024-08-02T14:08:46Z

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函数图像
使用numpy
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质点与参考系

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Hahahotsoup：创建页面，内容为“=== 一、质点 === 定义：忽略物体形状大小，把物体看作一个有质量的点，叫做质点意义： # 忽略次要因素 # 作为理想模型，现实中不存在，可以有效简化问题条件：形状、大小相对于问题而言均可被忽略，否则不能作为质点 === 二、参考系 === 与参照物类似，一般以大地作为参考系（并非全部适用）定义：假定不动的物体看其他物体相对于他的位…”

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