集合

2026-07-02T14:31:12Z

苏燕浔：

把研究的对象集在一起构成集合.

* 有有限个元素：有限集；
* 有无限个元素：无限集.

=== 空集 ===

不含元素的集合：<math>\emptyset</math>

空集也是有限集.

== 元素和集合的关系 ==

属于：<math>\in</math>

不属于：<math>\notin</math>

== 集合中元素的三个特征 ==

# 确定性：给定的集合，它的'''元素必须是确定的'''. 也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素是否存在这一个集合中就确定了.
# 互异型：一个给定集合中的'''元素是互不相同的'''. 也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
# 无序性：给定集合中的'''元素是不分先后的'''，没有顺序的.

== 集合相等 ==
给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就这两个集合相等，记作A=B
注. 1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等
2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看.比如0<x<5，x <math>\in</math> N 构成的集合与1，2，3，4 构成的集合相等
== 数集 ==
[[文件:数集.png|200px|缩略图|数集之间的关系（Venn 图）]]

数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集。

=== 示例 ===

# 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 <math>\mathbb{N}^*</math>，<math>\mathbb{Z}^+</math> 或 <math>\mathbb{N}^+</math>
# 所有负整数组成的集合称为负整数集，记作 <math>\mathbb{Z}_-</math>
# 全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 <math>\mathbb{N}</math>
# 全体整数组成的集合称为整数集，记作 <math>\mathbb{Z}</math>
# 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 <math>\mathbb{Q}</math>
# 全体实数组成的集合称为实数集，记作 <math>\mathbb{R}</math>
== 集合的表示方法 ==

=== 列举法 ===

把集合中的所有元素'''一一列举出来'''，并用花括号“<math>\{ \}</math>”括起来表示集合的方法叫做'''列举法'''.

注意事项：

# 元素与元素之间必须用“<math>,</math>”隔开.
# 集合中的元素可以是任何事物.
# 集合中的元素不能重复.

示例：

一元二次方程 <math>3x^2 - 6x = 0</math> 的解集为：<math>\{0, 2\}</math>.

=== 描述法 ===

一般地，设 A 表示一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 <math>\{x \in A | P(x)\}</math>，这种表示方法称为'''描述法'''.

注意事项：

# 写清楚集合中元素的符号. 如数或点等.
# 不能出现未被说明的字母.

示例：

奇数集：<math>\{x | x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}\}</math>.

偶数集：<math>\{x | x = 2n, n \in \mathbb{N}\}</math>.

== 子集 ==

[[文件:真子集.jpg|120px|缩略图|描述 A 真包含于 B 的 Venn 图]]

'''如果集合 <math>A</math> 的每一个元素都是集合 <math>B</math> 的元素，就称 <math>A</math> 是 <math>B</math> 的一个子集'''.

记作 <math>A \subseteq B</math>（读作：'''A 包含于 B'''）或 <math>B \supseteq A</math>（'''B 包含 A'''）.

如果 <math>A \subseteq B</math> 并且 <math>B \subseteq A</math>，就说这两个集合'''相等'''，记作：<math>A = B</math>.

如果 <math>A \subseteq B</math> 但是 <math>A \neq B</math>，就说 A 是 B 的'''真子集'''，记作：<math>A \subsetneqq B</math>，读作：'''A 真包含于 B'''. 例如，<math>(1, 6) \subsetneqq [1, 6]</math>.

包含关系还有传递性：

# 若 <math>A \subseteq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>；
# 若 <math>A \subsetneqq B</math>，<math>B \subseteq C</math>，则 <math>A \subseteq C</math>；

等等.

=== 有限集的子集个数的确定方法 ===
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>2^n</math> 个子集；
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个真子集；
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-1)</math> 个非空子集；
# 含有 <math>n</math> 个元素的集合有 <math>(2^n-2)</math> 个非空真子集.

== 补集 ==

<math>\complement_U A</math>

设<math>U</math>为全集（包含研究问题中涉及的所有元素的集合），集合<math>A</math>是<math>U</math>的子集，则由<math>U</math>中所有不属于<math>A</math>的元素组成的集合，称为集合<math>A</math>相对于全集<math>U</math>的'''补集'''，记作<math>\complement_U A</math>（读作“<math>A</math>在<math>U</math>中的补集”）。

'''符号表示'''：<math>\complement_U A = \{x | x \in U \text{且} x \notin A\}</math>

'''性质'''：
* <math>A \cup \complement_U A = U</math>（集合<math>A</math>与其补集的并集为全集）
* <math>A \cap \complement_U A = \emptyset</math>（集合<math>A</math>与其补集的交集为空集）
* <math>\complement_U (\complement_U A) = A</math>（补集的补集是集合本身）

'''示例'''：
设全集<math>U = \{1, 2, 3, 4, 5\}</math>，集合<math>A = \{1, 3, 5\}</math>，则<math>\complement_U A = \{2, 4\}</math>。
{{到题库|集合}}

[[category:代数]]

钟楼笔记 - 用户贡献 [zh-hans]

集合